Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Modelo de ruína de Cramér-Lundberg: análise da reserva de risco

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmativa está incorreta porque, mesmo considerando os prêmios recebidos, a reserva da seguradora se torna negativa antes do final do período de 12 meses, caracterizando a ruína. O modelo dado é $R(t) = 1.000 + c \cdot t - S(t)$, e com os valores fornecidos ($c = 80$, $S(6) = 1.200$, e indenizações de $150$ por mês nos próximos 6 meses), a reserva atinge valores negativos a partir do 10º mês, o que contraria a condição de não ruína.

O modelo de Cramér-Lundberg descreve a evolução da reserva de risco de uma seguradora ao longo do tempo. A reserva inicial é de $1.000$ unidades monetárias. A cada mês, a seguradora recebe um prêmio constante $c$ e paga indenizações cujo total acumulado até o tempo $t$ é $S(t)$. A ruína ocorre quando a reserva $R(t)$ se torna negativa em algum instante, ou seja, quando $R(t) < 0$ para algum $t \geq 0$.

No caso apresentado, temos:

• Reserva inicial: $R(0) = 1.000$

• Prêmio mensal: $c = 80$

• Total de indenizações nos primeiros 6 meses: $S(6) = 1.200$

• Indenizações mensais nos próximos 6 meses: $150$ por mês

Vamos calcular a reserva ao final de cada mês, considerando que as indenizações são pagas continuamente (ou no final de cada mês, o que não altera a conclusão).

Cálculo da reserva ao longo do tempo:

Para $t$ entre 0 e 6 meses, a reserva é:

No final do 6º mês, temos $S(6) = 1.200$, então:

A reserva após 6 meses é de $280$.

Agora, nos próximos 6 meses (do mês 6 ao mês 12), a seguradora paga $150$ por mês em indenizações e recebe $80$ por mês de prêmio. O fluxo líquido mensal é:

Portanto, a reserva no mês $t$ (para $t \geq 6$) é:

Vamos calcular a reserva ao final de cada mês a partir do 6º:

• $R(7) = 280 - 70 = 210$

• $R(8) = 280 - 140 = 140$

• $R(9) = 280 - 210 = 70$

• $R(10) = 280 - 280 = 0$

• $R(11) = 280 - 350 = -70$

• $R(12) = 280 - 420 = -140$

Observamos que a reserva se torna negativa no 11º mês ($R(11) = -70$). Portanto, a seguradora não consegue suportar pagar $150$ por mês nos próximos seis meses sem entrar em ruína, pois a ruína ocorre antes do final do período.

A afirmativa está errada.

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmativa afirma que a seguradora poderá suportar pagar $150$ por mês nos próximos seis meses sem entrar em ruína eventual. Isso é falso, pois, como demonstrado, a reserva se esgota no 10º mês (chega a zero) e se torna negativa no 11º mês, caracterizando a ruína. O erro está em não considerar que o fluxo líquido mensal é negativo ($80 - 150 = -70$), o que drena a reserva de $280$ em apenas 4 meses (até zerar) e a torna negativa no mês seguinte. Portanto, a seguradora não suporta o pagamento de $150$ mensais sem ruir.

Gabarito: letra E (ERRADO).