Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Probabilidade de pelo menos um óbito em uma tábua de mortalidade

Gabarito: ERRADO (letra E). A probabilidade de pelo menos um dos cônjuges morrer dentro de 20 anos não é simplesmente $_{20}q_{40:50} = 2{,}5\%$ como afirma o enunciado. O valor correto é obtido pelo complemento da probabilidade de ambos sobreviverem aos próximos 20 anos: $P(\text{pelo menos um morra}) = 1 - P(\text{ambos sobrevivam})$. Como as mortes dos cônjuges são eventos independentes, $P(\text{ambos sobrevivam}) = {}_{20}p_{40} \times {}_{20}p_{50}$, e cada $_{20}p_x$ é calculado diretamente da tábua pela razão $\frac{\ell_{x+20}}{\ell_x}$.

O enunciado apresenta uma armadilha clássica: ele sugere que a probabilidade conjunta de pelo menos um óbito seria simplesmente a soma das probabilidades individuais de morte ($_{20}q_{40} + {}_{20}q_{50}$), o que estaria errado por dupla contagem do caso em que ambos morrem. O valor de $2{,}5\%$ provavelmente corresponde a essa soma incorreta ou a um valor arbitrário, não ao resultado da fórmula correta.

O que é uma tábua de mortalidade

Uma tábua de mortalidade (ou tábua biométrica) é uma tabela que resume a experiência de mortalidade de uma população. A coluna $\ell_x$ indica o número de pessoas vivas que completam exatamente $x$ anos de idade. A partir dela, derivam-se as probabilidades fundamentais:

• Probabilidade de sobrevivência de alguém com $x$ anos por mais $n$ anos: $_{n}p_x = \frac{\ell_{x+n}}{\ell_x}$

• Probabilidade de morte dentro de $n$ anos: $_{n}q_x = 1 - {}_{n}p_x = 1 - \frac{\ell_{x+n}}{\ell_x}$

A regra para eventos conjuntos

Quando se pergunta sobre pelo menos um de dois eventos, a ferramenta correta é o complemento: é mais fácil calcular a probabilidade de que nenhum dos eventos ocorra e subtrair de 1. No caso de duas pessoas (cônjuges) com idades $x$ e $y$:

Assumindo independência entre as mortes dos dois indivíduos (premissa usual em tábuas de mortalidade, salvo menção em contrário):

Portanto, para o caso do enunciado ($x=40$, $y=50$, $n=20$):

A pegadinha da banca

A banca tenta induzir o candidato a somar as probabilidades individuais de morte: $_{20}q_{40} + {}_{20}q_{50}$. Isso está errado porque o evento "pelo menos um morre" inclui o caso em que ambos morrem, e esse caso seria contado duas vezes na soma. A fórmula correta pela regra da união seria:

onde $A$ = cônjuge de 40 anos morre em 20 anos, $B$ = cônjuge de 50 anos morre em 20 anos. Como $A$ e $B$ são independentes, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, e a fórmula se reduz ao complemento do produto das sobrevivências.

Por que a regra é assim

A lógica do complemento é uma das mais poderosas em probabilidade: quando o evento pedido é "pelo menos um", o evento complementar "nenhum" é geralmente mais simples de calcular, pois envolve apenas a interseção de sobrevivências. Essa abordagem evita a dupla contagem e é a única forma correta de resolver o problema.

Como resolver na prova

1. Identifique os valores de $\ell_x$ na tabela para $x = 40$, $50$, $60$ e $70$.

2. Calcule as probabilidades de sobrevivência: $_{20}p_{40} = \frac{\ell_{60}}{\ell_{40}}$ e $_{20}p_{50} = \frac{\ell_{70}}{\ell_{50}}$.

3. Multiplique as duas probabilidades de sobrevivência (independência).

4. Subtraia de 1: $_{20}q_{40:50} = 1 - (_{20}p_{40} \times {}_{20}p_{50})$.

5. Compare o resultado com $2{,}5\%$. Quase certamente será diferente, tornando o item ERRADO.

Gabarito: ERRADO (letra E).