Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Força de mortalidade a partir da função de sobrevivência

Gabarito: letra C — CERTO. A força de mortalidade é definida como $\mu(x) = -\frac{d}{dx} \ln s(x)$. Derivando $\ln s(x) = \frac{1}{2} \ln(1 - x/100)$, obtemos $\mu(x) = \frac{1}{2(100 - x)}$, que é exatamente a expressão fornecida no enunciado. Portanto, a afirmação está correta.

A força de mortalidade, também chamada de taxa instantânea de mortalidade ou hazard function, mede a intensidade com que os indivíduos morrem em um instante $x$, dado que sobreviveram até esse instante. Ela é uma função fundamental na análise de sobrevivência e na matemática atuarial, pois a partir dela se derivam outras funções como a função de sobrevivência e a função densidade de probabilidade do tempo de vida.

A relação entre a força de mortalidade e a função de sobrevivência é dada por:

Essa fórmula decorre do fato de que a função de sobrevivência $s(x)$ é a probabilidade de um indivíduo sobreviver além da idade $x$. A derivada do logaritmo natural de $s(x)$ com sinal negativo fornece a taxa instantânea de falha.

Aplicando essa definição à função dada:

1. Calculamos o logaritmo natural: $\ln s(x) = \ln\left((1 - x/100)^{1/2}\right) = \frac{1}{2} \ln(1 - x/100)$.

2. Derivamos em relação a $x$: $\frac{d}{dx} \ln s(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-1/100}{1 - x/100} = -\frac{1}{200(1 - x/100)} = -\frac{1}{200 - 2x}$.

3. Multiplicamos por $-1$: $\mu(x) = \frac{1}{200 - 2x}$.

O resultado obtido coincide exatamente com a expressão apresentada no enunciado. A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem tentar derivar diretamente $s(x)$ em vez de $\ln s(x)$, o que levaria a um resultado incorreto. A definição correta da força de mortalidade envolve o logaritmo natural da função de sobrevivência.

Gabarito: letra C — CERTO.