Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce216013

Aumentos e descontos sucessivos: encontrando a variação que falta

Gabarito: letra C. O produto sofreu um desconto de 20,0% na terceira alteração. Isso porque, partindo de um preço inicial $P$ , após um aumento de 20% e um desconto de 10%, o preço fica $P \times 1{,}2 \times 0{,}9 = 1{,}08P$ . Para que o preço final seja 13,6% menor que o original, ou seja, $0{,}864P$ , a terceira operação deve multiplicar por $0{,}864 \div 1{,}08 = 0{,}8$ , o que corresponde a um desconto de 20%.

A questão trabalha com variações percentuais sucessivas — um dos temas mais cobrados em concursos. A ideia central é que, ao aplicar aumentos e descontos em sequência, não podemos simplesmente somar ou subtrair os percentuais. Cada operação incide sobre o valor já modificado, e não sobre o valor original. Por isso, a forma correta de resolver é multiplicar os fatores de atualização.

Fator de atualização:

Aumento de $x\%$ → multiplica por $1 + \frac{x}{100}$ .
Desconto de $x\%$ → multiplica por $1 - \frac{x}{100}$ .

No caso, temos:

Aumento de 20% → fator $1{,}2$ .
Desconto de 10% → fator $0{,}9$ .
Terceira operação → fator desconhecido $f$ .

O preço final deve ser 13,6% menor que o original, ou seja, $100\% - 13{,}6\% = 86{,}4\%$ do valor inicial. Portanto:

P \times 1{,}2 \times 0{,}9 \times f = P \times 0{,}864

Cancelando $P$ :

1{,}08 \times f = 0{,}864

f = \frac{0{,}864}{1{,}08} = 0{,}8

O fator $0{,}8$ corresponde a um desconto de 20% (pois $1 - 0{,}2 = 0{,}8$ ).

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer você somar os percentuais (20% + 10% = 30% de aumento, e depois subtrair 13,6%, dando 16,4% de desconto) ou aplicar o desconto de 10% sobre o valor já aumentado de forma incorreta. O erro clássico é achar que o desconto de 10% é aplicado sobre o preço original, quando na verdade ele incide sobre o preço já aumentado. A pegadinha aqui é justamente a não comutatividade das operações: a ordem importa, e os percentuais não se somam diretamente. Com treino, você identifica rapidamente que a solução passa pelos fatores multiplicativos.

Variações percentuais sucessivas — só Aumentos: 20%; só Descontos: 10% e 20%; Aumentos∩Descontos: 0%

Alternativa A — ❌ Incorreta

Desconto de 6,6%. Esse valor não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Ele poderia surgir de uma confusão: subtrair 13,6% de 20% (20% − 13,6% = 6,4%, próximo, mas não exato) ou tentar uma média ponderada incorreta. Não há base matemática para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Aumento de 3,6%. Esse valor é o resultado de $1{,}2 \times 0{,}9 = 1{,}08$ , ou seja, um aumento de 8% após as duas primeiras operações. A banca troca o aumento acumulado de 8% pelo valor de 3,6%, que não corresponde a nada no problema. O candidato que calcula apenas as duas primeiras etapas e esquece a terceira pode cair aqui.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Desconto de 20,0%. Como demonstrado, o fator que falta é $0{,}8$ , que representa um desconto de 20%. A conta fecha perfeitamente: $1{,}2 \times 0{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}864$ , que é exatamente 13,6% menor que 1.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Desconto de 21,6%. Esse valor é o resultado de $1 - (0{,}9 \times 0{,}8) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$ , ou seja, 28% de desconto, não 21,6%. Ou pode ser uma tentativa de somar 10% + 20% = 30% e depois subtrair 8,4% (diferença entre 30% e 21,6%). Não há lógica que sustente esse número.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Desconto de 3,6%. Esse valor é o resultado de $1 - 0{,}964 = 0{,}036$ , que não aparece em nenhuma etapa. Pode ser uma confusão com o aumento de 3,6% (alternativa B) ou um erro de cálculo na divisão. O candidato que erra a conta de $0{,}864 \div 1{,}08$ pode chegar a um valor próximo, mas não exato.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de aumentos e descontos sucessivos, sempre use fatores multiplicativos e arbitre um valor inicial (por exemplo, R$ 100) se o preço não for dado. Isso transforma o problema em uma simples multiplicação. No caso, $100 \times 1{,}2 \times 0{,}9 = 108$ , e o preço final deve ser $86{,}4$ . Então, $108 \times f = 86{,}4 \Rightarrow f = 0{,}8$ , ou seja, desconto de 20%. Esse método evita erros de soma de percentuais e é mais rápido na prova.

Gabarito: letra C.