Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce216015

Divisão proporcional: o método da constante de proporcionalidade

Gabarito: letra E. O montante de R$ 260.000 deve ser dividido em partes diretamente proporcionais aos investimentos de R$ 40.000, R$ 65.000 e R$ 95.000. A constante de proporcionalidade é $k = \frac{260.000}{40.000 + 65.000 + 95.000} = \frac{260.000}{200.000} = 1,3$ , e cada sócio recebe seu investimento multiplicado por 1,3: R$ 52.000, R$ 84.500 e R$ 123.500.

A questão cobra o conceito de divisão em partes diretamente proporcionais, um dos pilares da razão e proporção. Quando um valor total $T$ é dividido em partes $x$ , $y$ , $z$ diretamente proporcionais a $a$ , $b$ , $c$ , vale a relação:

\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k

A constante $k$ é encontrada pela propriedade fundamental da soma: a soma dos numeradores dividida pela soma dos denominadores também é igual a $k$ . Ou seja:

k = \frac{x + y + z}{a + b + c} = \frac{T}{a + b + c}

No caso, o total a dividir é o montante resgatado (R$ 260.000), e os denominadores são os investimentos iniciais. A soma dos investimentos é R$ 200.000, exatamente o capital inicial. Isso significa que o fundo rendeu 30% sobre o total investido (de R$ 200.000 para R$ 260.000), e cada sócio recebe seu aporte acrescido desse mesmo percentual — por isso a constante $k = 1,3$ .

A pegadinha clássica deste tema é dividir o lucro (R$ 60.000) em vez do montante (R$ 260.000). Se o aluno fizesse isso, encontraria R$ 12.000, R$ 19.500 e R$ 28.500 — valores que não aparecem nas alternativas, mas que mostram a armadilha. O enunciado é claro: "o montante total foi dividido", ou seja, o valor de R$ 260.000 é que deve ser rateado.

1Somar investimentos (200.000)
2k = total ÷ soma (1,3)
3Multiplicar cada aporte por k

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Critério	A (R$ 50.500 / 87.500 / 122.000)	B (R$ 60.000 / 85.000 / 115.000)	C (R$ 55.000 / 80.000 / 125.000)	D (R$ 52.500 / 85.000 / 122.500)	E (R$ 52.000 / 84.500 / 123.500)
Soma = R$ 260.000?	✅	✅	✅	✅	✅
Razão 1º (÷ 40.000)	1,2625	1,5	1,375	1,3125	1,3
Razão 2º (÷ 65.000)	≈ 1,346	≈ 1,307	≈ 1,231	≈ 1,3077	1,3
Razão 3º (÷ 95.000)	≈ 1,284	≈ 1,211	≈ 1,316	≈ 1,2895	1,3
Proporcionalidade (razões iguais)?	❌	❌	❌	❌	✅

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os valores R$ 50.500, R$ 87.500 e R$ 122.000 não são proporcionais aos investimentos. A razão entre o primeiro valor e o investimento de R$ 40.000 seria $50.500 / 40.000 = 1,2625$ , enquanto para o segundo seria $87.500 / 65.000 \approx 1,346$ — razões diferentes, o que viola a proporcionalidade. Além disso, a soma é R$ 260.000, mas a distribuição não respeita a regra.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 60.000, R$ 85.000 e R$ 115.000 somam R$ 260.000, mas não são proporcionais. A razão do primeiro é $60.000 / 40.000 = 1,5$ , enquanto a do segundo é $85.000 / 65.000 \approx 1,307$ — novamente razões distintas. O candidato que apenas verificasse a soma cairia nesta alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 55.000, R$ 80.000 e R$ 125.000 também somam R$ 260.000, mas as razões são $55.000 / 40.000 = 1,375$ , $80.000 / 65.000 \approx 1,231$ e $125.000 / 95.000 \approx 1,316$ — todas diferentes. A distribuição não é proporcional.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R$ 52.500, R$ 85.000 e R$ 122.500 somam R$ 260.000. As razões são $52.500 / 40.000 = 1,3125$ , $85.000 / 65.000 \approx 1,3077$ e $122.500 / 95.000 \approx 1,2895$ — próximas, mas não iguais. A banca usa valores "quase proporcionais" para confundir quem faz cálculo aproximado.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a constante $k = 1,3$ a cada investimento:

$40.000 \times 1,3 = 52.000$
$65.000 \times 1,3 = 84.500$
$95.000 \times 1,3 = 123.500$

A soma confere: $52.000 + 84.500 + 123.500 = 260.000$ . Todos os valores mantêm a mesma razão com os investimentos, confirmando a proporcionalidade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora duas confusões: (1) dividir o lucro (R$ 60.000) em vez do montante (R$ 260.000) — quem cai nessa encontra R$ 12.000, R$ 19.500 e R$ 28.500, que não estão nas opções; (2) usar alternativas que somam R$ 260.000 mas não são proporcionais, como B, C e D. A dica é: sempre confira a razão entre cada parte e seu respectivo investimento — se as razões forem iguais, a divisão está correta.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rápido, calcule primeiro a constante $k = \frac{\text{total a dividir}}{\text{soma dos investimentos}}$ . Depois multiplique cada investimento por $k$ . Se o resultado não bater com nenhuma alternativa, verifique se você dividiu o valor certo (montante ou lucro).

Gabarito: letra E