Matemática Financeira · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce216018

Matemática Financeira: Séries de Pagamentos (Anuidades)

Gabarito: letra E. A questão solicita o tempo necessário para que o montante acumulado de uma série de depósitos mensais de R$ 200,00 (PMT) atinja 100 vezes o valor do depósito (ou seja, R$ 20.000,00), sob uma taxa de 1% ao mês ( $i = 0,01$ ).

Trata-se de uma série de pagamentos postecipados (o depósito ocorre no dia 10 de cada mês, e o montante é avaliado após o último depósito). A fórmula do valor futuro ( $FV$ ) de uma série de pagamentos é:

FV = PMT \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}

Substituindo os valores fornecidos:

20.000 = 200 \times \frac{(1 + 0,01)^n - 1}{0,01}

Dividindo ambos os lados por 200:

100 = \frac{(1,01)^n - 1}{0,01}

Multiplicando por 0,01:

1 = (1,01)^n - 1

(1,01)^n = 2

Para isolar $n$ , aplicamos logaritmos em ambos os lados:

\log(1,01)^n = \log(2)

n \times \log(1,01) = \log(2)

n = \frac{\log(2)}{\log(1,01)}

Este resultado corresponde exatamente à expressão apresentada na alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor de 100 meses é um distrator numérico que confunde o multiplicador do depósito (100 vezes) com o tempo da operação. O tempo necessário para dobrar o capital em juros compostos a 1% ao mês é significativamente menor que 100 meses.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão apresentada não deriva da fórmula de valor futuro de uma série de pagamentos. Ela parece ser uma tentativa de manipulação algébrica incorreta que não isola a variável $n$ de forma adequada para o regime de juros compostos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Similar à alternativa anterior, a fórmula apresentada não corresponde à dedução matemática necessária para resolver a equação de valor futuro de uma anuidade postecipada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma expressão que subtrai 1 do resultado do logaritmo, o que não condiz com a resolução da equação exponencial $(1,01)^n = 2$ . O valor de $n$ é obtido diretamente pela razão dos logaritmos.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a expressão correta derivada da aplicação da fórmula de valor futuro de uma série de pagamentos postecipados, isolando corretamente o número de períodos $n$ através da propriedade dos logaritmos.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de matemática financeira que envolvem o cálculo de prazos ( $n$ ) em regime de juros compostos, a resposta quase sempre envolverá o uso de logaritmos, pois a variável $n$ está no expoente. Se a questão pedir o tempo, desconfie de alternativas que não contenham logaritmos ou raízes complexas, a menos que o valor de $n$ seja um número inteiro pequeno e facilmente testável.