Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce216739

Probabilidade com distribuição hipergeométrica

Gabarito: ✅ ERRADO (letra E). A probabilidade de o auditor A receber exatamente 5 processos de prestação de contas anuais não é 0,25; o valor correto é aproximadamente 0,26 (ou 26%), calculado pela distribuição hipergeométrica, pois a seleção é feita sem reposição. A banca induz ao erro ao sugerir que a probabilidade seria simplesmente 5/20 = 0,25, ignorando a dependência entre as escolhas.

A questão envolve a seleção de 20 processos, dentre 100, para o auditor A, sem reposição. Temos 20 processos de prestação de contas anuais (sucessos) e 80 de tomada de contas especial (fracassos). Queremos a probabilidade de que, entre os 20 selecionados, exatamente 5 sejam de prestação de contas anuais. Esse cenário é modelado pela distribuição hipergeométrica, que calcula a probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos em uma amostra de tamanho $n$ , retirada sem reposição de uma população finita com $K$ sucessos e $N-K$ fracassos.

A fórmula da distribuição hipergeométrica é:

P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

onde:

$N = 100$ (total de processos),
$K = 20$ (processos de prestação de contas anuais),
$n = 20$ (processos que o auditor A recebe),
$k = 5$ (número desejado de processos de prestação de contas anuais).

Substituindo os valores:

P(X = 5) = \frac{\binom{20}{5} \cdot \binom{80}{15}}{\binom{100}{20}}

Calculando os coeficientes binomiais (aproximadamente):

$\binom{20}{5} = 15504$
$\binom{80}{15} \approx 3,535 \times 10^{14}$
$\binom{100}{20} \approx 5,36 \times 10^{20}$

Portanto:

P(X = 5) \approx \frac{15504 \times 3,535 \times 10^{14}}{5,36 \times 10^{20}} \approx \frac{5,48 \times 10^{18}}{5,36 \times 10^{20}} \approx 0,1022

Esse valor é aproximadamente 0,1022, ou seja, cerca de 10,22%, e não 0,25. A afirmação está, portanto, incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato calcular a probabilidade como se fosse uma simples razão: 5 processos de prestação de contas anuais em 20 recebidos, ou seja, 5/20 = 0,25. Mas isso ignora que a seleção é feita sem reposição e que a composição da amostra segue a distribuição hipergeométrica. O erro está em tratar as escolhas como independentes, quando na verdade a retirada de um processo altera a probabilidade dos seguintes. Fique atento: sempre que houver seleção sem reposição de uma população finita, use a hipergeométrica, não a binomial.

1Identificar N, K, n, k
2Aplicar fórmula
3Comparar com 0,25

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Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é igual a 0,25. Como demonstrado, o valor correto é aproximadamente 0,1022 (10,22%), calculado pela distribuição hipergeométrica. O número 0,25 seria obtido se a probabilidade fosse simplesmente 5/20, o que não se aplica a uma seleção sem reposição.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é a que nega a afirmação, pois a probabilidade não é 0,25. O cálculo correto, usando a distribuição hipergeométrica, resulta em aproximadamente 0,1022. Portanto, o item está errado.

Gabarito: letra E — o item está ERRADO.

Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2025

Probabilidade com distribuição hipergeométrica

Alternativa C — ❌ Incorreta

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO