Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce216740

Probabilidade: distribuição aleatória de processos

Gabarito: letra E (Errado). A probabilidade de o auditor A receber pelo menos um processo de prestação de contas anuais é de aproximadamente 0,89, ou seja, superior a 0,50 — o que torna a afirmação do item incorreta. O cálculo é feito pelo complemento: a probabilidade de A não receber nenhum processo de prestação de contas é a razão entre as combinações de escolher 20 processos apenas entre os 80 de tomada de contas especial e o total de combinações de escolher 20 entre os 100.

A questão envolve probabilidade com análise combinatória, especificamente o modelo de distribuição hipergeométrica (seleção sem reposição de uma amostra de tamanho fixo). O auditor A recebe exatamente 20 processos, sorteados aleatoriamente entre os 100. Queremos a probabilidade de que, nesses 20, haja pelo menos um dos 20 processos de prestação de contas.

O caminho mais direto é usar o evento complementar: calcular a probabilidade de A não receber nenhum processo de prestação de contas (ou seja, receber apenas processos de tomada de contas especial) e subtrair de 1.

Total de maneiras de escolher os 20 processos de A: $C_{100,20}$
Maneiras de escolher 20 processos todos de tomada de contas especial (80 disponíveis): $C_{80,20}$

Assim:

P(\text{nenhum de prestação}) = \frac{C_{80,20}}{C_{100,20}}

P(\text{pelo menos um}) = 1 - \frac{C_{80,20}}{C_{100,20}}

Calculando (usando a fórmula de combinação $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ ):

\frac{C_{80,20}}{C_{100,20}} = \frac{80!}{20! \cdot 60!} \cdot \frac{20! \cdot 80!}{100!} = \frac{80! \cdot 80!}{60! \cdot 100!}

Podemos simplificar:

= \frac{80 \cdot 79 \cdot 78 \cdots 61}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdots 81}

Esse produto é aproximadamente 0,11 (mais precisamente, cerca de 0,108). Portanto:

P(\text{pelo menos um}) \approx 1 - 0,108 = 0,892

Ou seja, a probabilidade é de aproximadamente 89,2%, bem superior a 0,50. Logo, a afirmação de que seria inferior a 0,50 é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a pensar que, como há 20 processos de prestação de contas em 100, a probabilidade de A receber pelo menos um seria algo como 20/100 = 0,20 (ou 20%), o que seria inferior a 0,50. Mas isso ignora que A recebe 20 processos, e não apenas 1. A probabilidade de nenhum processo de prestação de contas é baixa (cerca de 11%), porque é muito difícil sortear 20 processos e nenhum ser dos 20 especiais. O raciocínio correto exige o complemento e a análise combinatória.

Evento	Cálculo	Probabilidade
A não recebe nenhum processo de prestação de contas	$( \frac{C_{80,20}}{C_{100,20}} )$	≈ 0,108
A recebe pelo menos um processo de prestação de contas	$( 1 - \frac{C_{80,20}}{C_{100,20}} )$	≈ 0,892
Afirmação do item (probabilidade < 0,50)	Comparação com 0,892	Falsa (0,892 > 0,50)

Item — ❌ Errado

A afirmação está errada. A probabilidade de o auditor A receber pelo menos um processo de prestação de contas anuais é de aproximadamente 0,89, que é superior a 0,50, e não inferior. O erro está em subestimar a chance, provavelmente por pensar apenas na proporção de processos especiais no total (20/100 = 0,20), sem considerar que A recebe 20 processos, o que aumenta drasticamente a chance de pegar ao menos um.

Gabarito: letra E (Errado).

Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2025

Probabilidade: distribuição aleatória de processos

Item — ❌ Errado