Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2025

Retas perpendiculares: coeficiente angular e ponto de passagem

Gabarito: letra C. A reta perpendicular a $y = 3x + 1$ deve ter coeficiente angular $m = -\frac{1}{3}$ (o inverso negativo de 3), e, como passa pelo ponto $P(-1,4)$, sua equação é $y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$. A alternativa C é a única que combina o coeficiente angular correto com o ponto dado.

A questão cobra dois conceitos de Geometria Analítica: a condição de perpendicularismo entre retas e a determinação da equação de uma reta que passa por um ponto conhecido. Vamos revisar cada um.

1. Coeficiente angular e perpendicularismo

Toda reta não vertical pode ser escrita na forma reduzida $y = mx + n$, em que $m$ é o coeficiente angular (a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo $x$) e $n$ é o coeficiente linear (a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo $y$).

Duas retas de coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$ são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes é $-1$:

Ou seja, o coeficiente angular de uma é o inverso negativo (também chamado de oposto do inverso) da outra. Se $m_1 = 3$, então $m_2 = -\frac{1}{3}$.

2. Equação da reta que passa por um ponto

Conhecendo o coeficiente angular $m$ e um ponto $(x_0, y_0)$ da reta, usamos a equação fundamental:

Substituindo $m = -\frac{1}{3}$ e $P(-1,4)$:

Portanto, a equação procurada é $y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$.

Atenção à pegadinha: a banca colocou como alternativa C a reta $y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$, que tem o coeficiente angular positivo $\frac{1}{3}$ — exatamente o oposto do correto. Isso é uma armadilha clássica: o candidato que calcula o inverso, mas esquece de trocar o sinal, cai na letra C. O correto é o inverso negativo, ou seja, $-\frac{1}{3}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$y = -\frac{1}{3}x + 1$: o coeficiente angular está correto ($-\frac{1}{3}$), mas o coeficiente linear $1$ não faz a reta passar pelo ponto $P(-1,4)$. Verifique: substituindo $x = -1$, obtemos $y = -\frac{1}{3}(-1) + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \neq 4$. O ponto não pertence à reta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$: coeficiente angular $-\frac{1}{3}$ (inverso negativo de 3) e coeficiente linear $\frac{11}{3}$. Substituindo $x = -1$: $y = -\frac{1}{3}(-1) + \frac{11}{3} = \frac{1}{3} + \frac{11}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Confere com o ponto $P(-1,4)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$: o coeficiente angular é $\frac{1}{3}$, que é o inverso de 3, mas sem o sinal negativo. Para ser perpendicular, o coeficiente deve ser $-\frac{1}{3}$. Essa é a pegadinha da questão: o candidato que calcula o inverso, mas esquece de trocar o sinal, cai aqui.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$y = \frac{1}{3}x + 1$: além do coeficiente angular errado ($\frac{1}{3}$ em vez de $-\frac{1}{3}$), o coeficiente linear $1$ também não faz a reta passar por $P(-1,4)$ (como vimos na alternativa A, o valor correto seria $\frac{11}{3}$).

Alternativa E — ❌ Incorreta

$y = -\frac{11}{3}x + \frac{1}{3}$: o coeficiente angular $-\frac{11}{3}$ não é o inverso negativo de 3 (deveria ser $-\frac{1}{3}$). Além disso, o coeficiente linear $\frac{1}{3}$ não corresponde ao ponto dado.

Gabarito: letra B