Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce221679

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1125 cm³ (alternativa D).

A ideia por trás

O volume de um prisma é a quantidade de espaço que ele ocupa, medida em unidades cúbicas (cm³). Para qualquer prisma, o volume é calculado multiplicando a área da base pela altura do prisma. A base deste prisma é um triângulo equilátero, uma figura com três lados iguais. A área de um triângulo equilátero de lado ℓ é dada por (ℓ²√3)/4, que vem de dividir o triângulo em dois triângulos retângulos. Quando multiplicamos a área da base pela altura do prisma, precisamos lembrar que √3 vezes √3 é 3, eliminando o radical. Nesta questão, precisamos calcular a área da base e depois multiplicar pela altura, cuidando para simplificar corretamente o produto das raízes.

O que a questão dá

lado do triângulo equilátero = 10 cm
altura do prisma = 15√3 cm

O que queremos: o volume do prisma

Passo 1 — Calcular a área da base triangular

O volume do prisma é área da base vezes altura, então primeiro precisamos saber a área do triângulo equilátero que forma a base. A área de um triângulo equilátero de lado ℓ é (ℓ²√3)/4, porque ao traçar a altura, formam-se dois triângulos retângulos com base ℓ/2 e hipotenusa ℓ, e a altura vale (ℓ√3)/2; a área é (base × altura)/2 = (ℓ × ℓ√3/2)/2 = ℓ²√3/4.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula específica para triângulo equilátero, pois todos os lados são iguais e a altura tem uma relação fixa com o lado. Não é um triângulo qualquer, então não usamos a fórmula geral com base e altura dadas.

A_b = \frac{\ell^{2} \sqrt{3}}{4}

De onde vem cada valor: $\ell$ = enunciado: lado = 10 cm

A_b = \frac{10^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = \boxed{25\ √3 \text{cm}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 4, obtendo 100√3, ou usar a fórmula da área do triângulo retângulo (base × altura / 2) com valores errados.

Passo 2 — Multiplicar a área da base pela altura do prisma

Com a área da base em mãos, aplicamos a fórmula do volume do prisma: V = A_b × h. A altura do prisma é a distância entre as bases, que neste caso é 15√3 cm. Multiplicamos os números e as raízes separadamente.

Por que esta fórmula: O volume de qualquer prisma é sempre área da base vezes altura, independentemente da forma da base. Não há outra fórmula para prisma.

V = A_b \cdot h

De onde vem cada valor: $A_b$ = passo 1: 25√3 cm² · $h$ = enunciado: 15√3 cm

V = 25\sqrt{3} \cdot 15\sqrt{3} = \boxed{1125\ \text{cm}^{3}}

NÃO CAIA NESSA!

Não multiplicar as raízes: √3 × √3 = 3, então o resultado é 25×15×3 = 1125, e não 375√3. Outro erro é usar a altura como 15 em vez de 15√3.

Resposta: 1125 cm³ (alternativa D)