Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

Trigonometria no triângulo retângulo: altura da pipa

Gabarito: letra C. A altura da pipa é o cateto oposto ao ângulo de 60° no triângulo retângulo formado pelo cordão (hipotenusa = 30 m) e o chão. Pela relação trigonométrica do seno, $\sin 60° = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$, temos $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{30}$, logo $h = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ m.

A situação descrita forma um triângulo retângulo: o cordão esticado é a hipotenusa (30 m), o chão é um dos catetos (adjacente ao ângulo de 60°) e a altura da pipa é o outro cateto (oposto ao ângulo de 60°). A pergunta pede exatamente esse cateto oposto.

A ferramenta certa é a razão trigonométrica seno, que relaciona o cateto oposto ao ângulo com a hipotenusa. O cosseno relacionaria o cateto adjacente (a distância horizontal no chão) com a hipotenusa — e é aí que mora a pegadinha clássica: quem usa cosseno encontra $30 \cdot \cos 60° = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ m, que é a alternativa A, mas isso é a distância horizontal, não a altura.

Os valores das razões trigonométricas para 60° são: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\tan 60° = \sqrt{3}$. Esses valores vêm do triângulo equilátero dividido ao meio, e são cobrados com frequência em questões de geometria plana.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 15 m corresponde a $30 \cdot \cos 60°$, ou seja, à distância horizontal do ponto de amarração até a projeção da pipa no chão (cateto adjacente), não à altura. A banca troca o seno pelo cosseno para induzir ao erro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$15\sqrt{2}$ m não corresponde a nenhuma razão trigonométrica de 60°. Esse valor apareceria se o ângulo fosse de 45° (onde $\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$), mas aqui o ângulo é de 60°.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A altura é o cateto oposto ao ângulo de 60°. Aplicando o seno: $\sin 60° = \frac{h}{30} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{30} \Rightarrow h = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ m. É exatamente o valor da alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$20\sqrt{3}$ m seria o resultado se a hipotenusa fosse 40 m (pois $40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$). Como a hipotenusa é 30 m, o valor correto é $15\sqrt{3}$ m. A banca usa um múltiplo que não corresponde aos dados do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

60 m é o dobro do comprimento do cordão (30 m). Não há operação que justifique esse valor: nem seno, nem cosseno, nem tangente de 60° aplicados a 30 m resultam em 60. É um distrator puro, sem relação com o problema.

Gabarito: letra C