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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
ce221682
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UERR
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Vestibular
A média aritmética M de um conjunto numérico c com n elementos é M = 12. Sabe-se que 32 é um elemento de C. Ao calcularmos a média aritmética m dos elementos do conjunto C - {32}, encontramos m = 10. Nessa situação, a soma dos elementos do conjunto C será igual a
  1. A11.
  2. B22.
  3. C54.
  4. D100.
  5. E132.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 132.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 132 (alternativa E).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida de tendência central que indica o valor típico de um conjunto de números. Ela é calculada somando todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. A unidade é a mesma dos dados, e ela representa o valor que cada elemento teria se todos fossem iguais, mantendo a soma total. A relação fundamental é: soma = média × quantidade. Se a média aumenta, a soma aumenta proporcionalmente; se a quantidade aumenta, a soma também aumenta. Nesta questão, usamos essa relação para expressar a soma total de duas formas diferentes: uma usando a média do conjunto original e outra usando a média do conjunto sem o elemento 32. Igualando essas expressões, encontramos o número de elementos e, em seguida, a soma total.

O que a questão dá

  • média do conjunto C = 12

  • número de elementos de C = n

  • elemento retirado = 32

  • média do conjunto C - {32} = 10

O que queremos: a soma dos elementos do conjunto C

Passo 1 — Expressar a soma total com a média original

A média é a soma dividida pela quantidade, então a soma é a média vezes a quantidade. Isso nos dá uma primeira expressão para a soma total em função de n.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: M = S/n, então S = M × n.

S=12⋅nS = 12 \cdot n

De onde vem cada valor: SS = soma dos elementos de C (incógnita) · 1212 = enunciado: média do conjunto C · nn = enunciado: número de elementos de C

S=12⋅nS = 12 \cdot n
S=12 nS = \boxed{12\ \text{n}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma é o produto da média pela quantidade, tentando adivinhar a soma diretamente.

Passo 2 — Expressar a soma sem o elemento 32

O conjunto C - {32} tem um elemento a menos e média 10. Usando a mesma relação, obtemos a soma desses elementos, que é a soma total menos 32.

Por que esta fórmula: A soma dos elementos de C - {32} é a soma total S menos o elemento retirado 32. E essa soma também é a média 10 vezes a quantidade (n-1).

S−32=10⋅(n−1)S - 32 = 10 \cdot (n - 1)

De onde vem cada valor: SS = passo 1: S = 12n · 3232 = enunciado: elemento retirado · 1010 = enunciado: média do conjunto C - {32} · n−1n - 1 = enunciado: quantidade de elementos de C - {32}

S−32=10⋅(n−1)S - 32 = 10 \cdot (n - 1)
S−32=10 n−10S - 32 = \boxed{10\ \text{n} - 10}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n em vez de n-1 para a quantidade de elementos após a retirada.

Passo 3 — Igualar as duas expressões para a soma

As duas expressões representam a mesma soma total S, então podemos igualá-las para encontrar n.

Por que esta fórmula: Substituímos S da primeira expressão na segunda, pois ambas valem S.

12n=10(n−1)+3212n = 10(n - 1) + 32

De onde vem cada valor: 12n12n = passo 1: S = 12n · 10(n−1)10(n - 1) = passo 2: S - 32 = 10(n-1), então S = 10(n-1) + 32 · 3232 = enunciado: elemento retirado

12n=10(n−1)+3212n = 10(n - 1) + 32
12n=10 n−10+3212n = \boxed{10\ \text{n} - 10 + 32}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 10(n-1) = 10n - 10, não 10n - 1.

Passo 4 — Resolver a equação para n

Precisamos do valor de n para calcular a soma total. Isolamos n na equação.

Por que esta fórmula: Equação linear simples: isolamos n de um lado.

12n=10n+2212n = 10n + 22

De onde vem cada valor: 12n12n = passo 3 · 10n10n = passo 3: 10n - 10 + 32 = 10n + 22 · 2222 = passo 3: -10 + 32 = 22

12n−10n=2212n - 10n = 22

2n = 22, n = 11

NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 12n - 10n = 2n, não 22n.

Passo 5 — Calcular a soma total

Com n = 11, usamos a expressão da soma do passo 1 para obter o valor final.

Por que esta fórmula: S = 12n, já definida.

S=12⋅11S = 12 \cdot 11

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: média do conjunto C · 1111 = passo 4: n = 11

S=12⋅11S = 12 \cdot 11
S=132S = \boxed{132}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir n com a soma: n = 11, mas a soma é 132.

Resposta: 132 (alternativa E)

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