Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce221683

Análise Combinatória: Combinações Simples

Gabarito: letra B. O número de jogos é dado pela combinação de 8 times tomados 2 a 2, pois cada jogo é um par de times e a ordem entre eles não importa. Calculando $C_{8,2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28$ , chegamos ao resultado.

A questão envolve o conceito de combinação simples, que é usado quando queremos contar quantos subconjuntos de um certo tamanho podemos formar a partir de um conjunto maior, sem nos importar com a ordem dos elementos. No caso, cada jogo é um subconjunto de 2 times escolhidos entre os 8 participantes. A ordem não importa: o jogo "A vs B" é o mesmo que "B vs A".

A fórmula da combinação simples é:

C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

onde $n$ é o total de elementos e $k$ é o tamanho do subconjunto. Aplicando ao problema, temos $n=8$ e $k=2$ :

C_{8,2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{56}{2} = 28

Portanto, o número de jogos é 28.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre combinação e arranjo. Se o candidato considerar a ordem (arranjo), calcularia $8 \times 7 = 56$ , caindo na alternativa D. Mas, como o jogo A×B é o mesmo que B×A, devemos dividir por 2, obtendo 28. Fique atento: sempre que a ordem não importar, use combinação.

Distribuição de jogos entre times — só Times: 8; só Jogos: 28; Times∩Jogos: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O número 7 corresponde a $8 - 1$ , ou seja, cada time jogaria contra 7 adversários, mas isso contaria cada jogo duas vezes (uma para cada time). Não é o total de jogos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $C_{8,2} = 28$ . Cada jogo é uma combinação de 2 times entre 8, sem repetição e sem ordem.

Alternativa C — ❌ Incorreta

49 é o quadrado de 7 ( $7^2$ ). Esse número não tem relação direta com o problema; talvez o candidato tenha multiplicado 7 jogos por 7 rodadas, mas não há rodadas aqui, apenas jogos únicos entre todos os pares.

Alternativa D — ❌ Incorreta

56 é o resultado de $8 \times 7$ , que seria o número de arranjos de 8 times tomados 2 a 2 (considerando a ordem). Como a ordem não importa, devemos dividir por 2, resultando em 28.

Alternativa E — ❌ Incorreta

64 é $8^2$ , que seria o número de jogos se cada time jogasse contra todos os outros, incluindo contra si mesmo e contando a ordem. Não é o caso.

Gabarito: letra B