Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce221684

Progressão aritmética de segunda ordem

Gabarito: letra A. A sequência $a_n = n^2$ não é uma progressão aritmética, pois a diferença entre termos consecutivos não é constante; porém, essa diferença forma uma progressão aritmética, o que a caracteriza como progressão aritmética de segunda ordem. Já a sequência $a_n = n^3$ não é de segunda ordem, pois a diferença entre termos consecutivos não forma uma progressão aritmética.

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante, chamada de razão ( $r$ ). Formalmente, $a_n - a_{n-1} = r$ para todo $n \geq 2$ . Já uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma PA. Ou seja, se definimos $b_n = a_{n+1} - a_n$ , então $b_n$ deve ser uma PA. Essa é uma generalização natural: enquanto na PA de primeira ordem as diferenças são constantes, na de segunda ordem as diferenças das diferenças é que são constantes.

A pegadinha da banca está em confundir os dois conceitos: o item I afirma que $a_n = n^2$ é uma PA, o que é falso, pois as diferenças não são constantes. O item II afirma corretamente que ela é de segunda ordem. O item III tenta estender a ideia para $a_n = n^3$ , mas as diferenças de $n^3$ não formam uma PA, apenas as diferenças das diferenças é que formam. Vamos analisar cada item em detalhe.

PA de segunda ordem: Definição (bₙ = aₙ₊₁ − aₙ forma uma PA); aₙ = n² (Não é PA (diferenças: 3, 5, 7…), É de 2ª ordem (bₙ = 2n+1)); aₙ = n³ (Não é de 2ª ordem (bₙ = 3n²+3n+1), É de 3ª ordem); Regra geral (aₙ = nᵏ → ordem k)

Item I — ❌ Incorreto

A sequência $a_n = n^2$ gera os termos: 1, 4, 9, 16, 25, ... As diferenças entre termos consecutivos são: 3, 5, 7, 9, ... que não são constantes. Portanto, não é uma progressão aritmética. O erro do item está em afirmar que é uma PA, quando na verdade é uma PA de segunda ordem (como veremos no item II).

Item II — ✅ Correto

Para $a_n = n^2$ , temos $b_n = a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$ . A sequência $b_n$ é: 3, 5, 7, 9, ... que é uma PA de razão 2. Portanto, $a_n = n^2$ é uma progressão aritmética de segunda ordem. O item está correto.

Item III — ❌ Incorreto

Para $a_n = n^3$ , temos $b_n = a_{n+1} - a_n = (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$ . A sequência $b_n$ é: 7, 19, 37, 61, ... que não é uma PA, pois as diferenças (12, 18, 24, ...) não são constantes. Portanto, $a_n = n^3$ não é uma PA de segunda ordem. O item está incorreto.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apenas o item II está certo, como demonstrado acima. A alternativa A é a correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que os itens I e II estão certos. O item I está incorreto, pois $a_n = n^2$ não é uma PA. Portanto, a alternativa B está errada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os itens I e III estão certos. Ambos estão incorretos, como demonstrado. Portanto, a alternativa C está errada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que os itens II e III estão certos. O item III está incorreto, pois $a_n = n^3$ não é uma PA de segunda ordem. Portanto, a alternativa D está errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que todos os itens estão certos. Os itens I e III estão incorretos. Portanto, a alternativa E está errada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao afirmar que $a_n = n^2$ é uma PA (item I), quando na verdade é uma PA de segunda ordem. Além disso, o item III sugere que $a_n = n^3$ também seria de segunda ordem, mas não é. A confusão está em não distinguir entre a sequência original e a sequência das diferenças. Fique atento: para verificar se uma sequência é PA de segunda ordem, calcule as diferenças entre termos consecutivos e verifique se elas formam uma PA.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de PA de segunda ordem, calcule as diferenças entre termos consecutivos e verifique se elas formam uma PA. Se sim, a sequência é de segunda ordem. Para $a_n = n^k$ , a sequência é de ordem $k$ . Ou seja, $n^2$ é de segunda ordem, $n^3$ é de terceira ordem, e assim por diante. Isso pode ser verificado pelo fato de que a $k$ -ésima diferença de um polinômio de grau $k$ é constante.

Gabarito: letra A — apenas o item II está correto.