Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

Números Complexos: potência de um número complexo

Gabarito: letra E. O número $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ tem módulo 1 e argumento $45°$ (ou $\pi/4$ rad). Pela fórmula de Moivre, $z^3$ terá módulo $1^3 = 1$ e argumento $3 \times 45° = 135°$, cujo cosseno é $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ e seno é $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Portanto, $w = z^3 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, que corresponde à alternativa E.

A questão cobra a potência de um número complexo e a forma mais elegante de resolvê-la é usar a forma trigonométrica (ou polar) do número. Todo número complexo $z = a + bi$ pode ser escrito como $z = \rho(\cos \theta + i \sin \theta)$, onde $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$ é o módulo e $\theta$ é o argumento (ângulo que o vetor forma com o eixo real). A fórmula de Moivre estabelece que, para $n$ inteiro, $z^n = \rho^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$. Ou seja, para elevar um complexo a uma potência, elevamos o módulo a essa potência e multiplicamos o argumento por ela.

No caso, $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. O módulo é $\rho = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$. O argumento é o ângulo cujo cosseno e seno são ambos $\frac{\sqrt{2}}{2}$, que é $45°$ (ou $\pi/4$ rad). Aplicando Moivre para $n=3$: $w = z^3 = 1^3[\cos(3 \times 45°) + i\sin(3 \times 45°)] = \cos(135°) + i\sin(135°)$. Como $\cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, temos $w = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$.

A pegadinha clássica aqui é o candidato tentar resolver por expansão algébrica direta, o que é trabalhoso e propenso a erro de sinal. A banca explora justamente a confusão entre os sinais das partes real e imaginária após a rotação de 135°. Perceba que o argumento de $z$ é 45° (primeiro quadrante, ambos positivos), mas ao triplicar o ângulo, caímos no segundo quadrante (135°), onde o cosseno é negativo e o seno é positivo. É exatamente essa inversão de sinais que a alternativa E captura.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $w = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$. Isso corresponderia a um argumento de 225° (terceiro quadrante), ou seja, $3 \times 75°$, não $3 \times 45°$. O erro aqui é duplo: tanto o sinal da parte real quanto o da parte imaginária estão trocados. O candidato que erra o sinal do cosseno e do seno ao calcular $\cos(135°)$ e $\sin(135°)$ cai nesta alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $w = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$. Isso corresponderia a um argumento de 315° (quarto quadrante), ou seja, $3 \times 105°$, não $3 \times 45°$. O erro aqui é trocar o sinal da parte imaginária: o seno de 135° é positivo, não negativo. O candidato que confunde o sinal do seno no segundo quadrante cai nesta alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $w = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. Isso não corresponde a nenhum ângulo notável simples derivado de 135°. O valor $\frac{1}{2}$ seria o cosseno de 60°, não de 135°. O candidato que confunde os valores de cosseno e seno de ângulos notáveis (como 60° e 135°) cai nesta alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $w = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$. Isso também não corresponde a 135°. O valor $\frac{1}{2}$ seria o cosseno de 60°, e o sinal negativo na parte imaginária indicaria um ângulo no quarto quadrante. O candidato que mistura valores de ângulos notáveis e erra o sinal do seno cai nesta alternativa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $w = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. Isso corresponde exatamente a $\cos(135°) + i\sin(135°)$, que é o resultado de $z^3$ pela fórmula de Moivre. O cosseno de 135° é $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (negativo, pois está no segundo quadrante) e o seno de 135° é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (positivo, pois está no segundo quadrante). Portanto, esta é a alternativa correta.

Gabarito: letra E