Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce221686

Função quadrática: altura máxima do arremesso de peso

Gabarito: letra C. A altura máxima do peso é 361/40 m (9,025 m). Para uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ com $a < 0$ , o valor máximo ocorre no vértice, cuja coordenada x é $x_v = -\frac{b}{2a}$ ; substituindo esse valor na função, obtém-se a altura máxima. Nesta questão, o alcance de 18 m fornece a segunda raiz da parábola, permitindo determinar o coeficiente $b$ e, em seguida, calcular o vértice.

A função modela a trajetória do peso: $f(x) = -\frac{1}{10}x^2 + bx + \frac{9}{5}$ , com $0 \le x \le 18$ . O termo $\frac{9}{5}$ é a altura inicial do peso (quando $x = 0$ ). Como o alcance é 18 m, isso significa que $f(18) = 0$ — ou seja, o peso toca o solo a 18 m de distância horizontal. Essa informação é a chave para encontrar $b$ .

Substituindo $x = 18$ e $f(18) = 0$ :

0 = -\frac{1}{10}(18)^2 + b(18) + \frac{9}{5}

0 = -\frac{324}{10} + 18b + \frac{9}{5}

0 = -32{,}4 + 18b + 1{,}8

18b = 30{,}6

b = 1{,}7 = \frac{17}{10}

Agora, com $a = -\frac{1}{10}$ e $b = \frac{17}{10}$ , calculamos a coordenada x do vértice:

x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{17}{10}}{2 \cdot \left(-\frac{1}{10}\right)} = -\frac{\frac{17}{10}}{-\frac{2}{10}} = \frac{17}{2} = 8{,}5

Substituindo $x_v = 8{,}5$ na função:

f(8{,}5) = -\frac{1}{10}(8{,}5)^2 + \frac{17}{10}(8{,}5) + \frac{9}{5}

f(8{,}5) = -\frac{72{,}25}{10} + \frac{144{,}5}{10} + \frac{9}{5}

f(8{,}5) = -7{,}225 + 14{,}45 + 1{,}8 = 9{,}025 = \frac{361}{40}

Portanto, a altura máxima é $\frac{361}{40}$ m.

1Achar b (f(18)=0)
2Calcular x_v = -b/2a
3Substituir x_v em f(x)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{361}{100} = 3{,}61$ m não corresponde a nenhum ponto relevante da trajetória. É um distrator numérico: provavelmente foi obtido por um erro de cálculo, como confundir a coordenada x do vértice com a altura máxima, ou errar na substituição dos coeficientes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{17}{2} = 8{,}5$ m é exatamente a coordenada x do vértice ( $x_v$ ), não a altura máxima. A banca troca a abscissa do vértice pela ordenada — uma confusão clássica. O candidato que calcula $x_v$ e para por aí marca esta alternativa, mas o que se pede é $f(x_v)$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A altura máxima é $\frac{361}{40} = 9{,}025$ m. Este é o valor de $f(x_v)$ quando $x_v = 8{,}5$ m, calculado corretamente. A alternativa espelha exatamente o resultado da substituição do vértice na função.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{9}{5} = 1{,}8$ m é a altura inicial do peso (o termo constante $c$ da função, quando $x = 0$ ). Não é a altura máxima, mas o ponto de partida do lançamento. A banca explora a confusão entre o coeficiente $c$ e o valor máximo da função.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{17}{10} = 1{,}7$ m é o coeficiente $b$ da função, encontrado ao usar o alcance de 18 m. Não é a altura máxima. O candidato que calcula $b$ corretamente, mas não prossegue para o vértice, pode marcar esta alternativa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca monta os distratores com os valores intermediários do cálculo: a alternativa B é a coordenada x do vértice (8,5), a D é a altura inicial (1,8) e a E é o coeficiente b (1,7). O candidato que resolve pela metade — encontra $b$ ou $x_v$ e para — cai em uma delas. O segredo é lembrar que a altura máxima é a ordenada do vértice, ou seja, $f(x_v)$ , e não a abscissa. Com treino, você identifica esses "valores-isca" de longe 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de altura máxima em lançamentos, monte o passo a passo: (1) use o alcance para achar $b$ (fazendo $f(alcance) = 0$ ); (2) calcule $x_v = -\frac{b}{2a}$ ; (3) substitua $x_v$ na função para obter a altura máxima. Se a alternativa trouxer um valor que você reconhece como uma etapa intermediária (como $x_v$ ou $b$ ), desconfie — provavelmente é um distrator.

Gabarito: letra C