Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

Inequação do 2º grau: resolução e interpretação

Gabarito: letra C (Certo). A inequação $-x^2 + 320x \geq 6.000$ tem como solução o intervalo $20 \leq x \leq 300$, portanto qualquer quantidade de pessoas que a satisfaça é, de fato, inferior a 400. A resolução envolve encontrar as raízes da equação associada e analisar o sinal da função quadrática, cuja concavidade é para baixo (coeficiente $a = -1$).

A questão cobra a resolução de uma inequação do 2º grau. O primeiro passo é reescrever a inequação na forma padrão, com zero em um dos lados:

Multiplicando por $-1$ (invertendo o sinal da desigualdade):

Agora, encontramos as raízes da equação $x^2 - 320x + 6.000 = 0$. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatoração. Observe que $20 \times 300 = 6.000$ e $20 + 300 = 320$, então as raízes são $x = 20$ e $x = 300$. De fato:

Assim, a inequação original é equivalente a $(x - 20)(x - 300) \leq 0$. O produto de dois fatores é não positivo quando um é não negativo e o outro é não positivo, o que ocorre para $20 \leq x \leq 300$. Portanto, o conjunto solução é o intervalo fechado $[20, 300]$.

Como todos os valores desse intervalo são menores que 400, a afirmação está correta. A pegadinha da banca é que muitos candidatos, ao resolverem a inequação, podem esquecer de inverter o sinal ao multiplicar por $-1$, ou podem errar na análise do sinal da função quadrática, obtendo um intervalo incorreto. Aqui, a concavidade para baixo (pois $a = -1$) faz com que a função seja não negativa entre as raízes, e como o problema pede $\geq 0$, o intervalo é exatamente entre as raízes.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação é verdadeira. Resolvendo a inequação $-x^2 + 320x \geq 6.000$, obtemos o intervalo $20 \leq x \leq 300$. Como todos os valores desse intervalo são menores que 400, a quantidade de pessoas que satisfaz a inequação é, de fato, inferior a 400. Portanto, o item está Certo.

Gabarito: letra C (Certo).