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Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
ce222085
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNB
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Vestibular Indígena
Em uma região plana, determinados lugares foram identificados com um ponto P(x,y) de um plano cartesiano xOy, com coordenadas dadas em quilômetros. Nessa região, 3 pequenos poços estão posicionados nos vértices de um área triangular, nos pontos A(−1,6), B(4,6) e C(5,0).Com base nessas informações, julgue o seguinte item.A área triangular onde estão posicionados os pequenos poços tem mais que 20 km².
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Área do triângulo no plano cartesiano

Gabarito: letra E (ERRADO). A área do triângulo com vértices A(−1,6), B(4,6) e C(5,0) é exatamente 15 km², calculada pela fórmula da área por determinante (ou base × altura). Como 15 km² é menor que 20 km², a afirmação de que a área tem mais que 20 km² é falsa.

Para resolver, podemos usar a fórmula da área de um triângulo a partir das coordenadas dos vértices:

A=12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣A = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|

Substituindo os valores:

A=12∣(−1)(6−0)+4(0−6)+5(6−6)∣=12∣(−1)(6)+4(−6)+5(0)∣=12∣−6−24+0∣=12⋅30=15A = \frac{1}{2} |(-1)(6-0) + 4(0-6) + 5(6-6)| = \frac{1}{2} |(-1)(6) + 4(-6) + 5(0)| = \frac{1}{2} |-6 - 24 + 0| = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15

Portanto, a área é 15 km², que é menor que 20 km². A afirmação está errada.

Outra forma de ver: os pontos A e B têm a mesma ordenada (y = 6), então a base AB mede 5 km (de x = −1 a x = 4). A altura relativa a essa base é a distância vertical do ponto C até a reta y = 6, que é 6 km. Assim, área = (base × altura)/2 = (5 × 6)/2 = 15 km².

Método

Cálculo

Área (km²)

Comparação com 20 km²

Resultado

Determinante

(12∣(−1)(6−0)+4(0−6)+5(6−6)∣=12⋅30)(\frac{1}{2} |(-1)(6-0) + 4(0-6) + 5(6-6)| = \frac{1}{2} \cdot 30)

15

15 < 20

Falso (Errado)

Base × Altura

Base AB = 5, altura = 6, 5×62\frac{5 \times 6}{2}

15

15 < 20

Falso (Errado)

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a área tem mais que 20 km². O cálculo mostra que a área é 15 km², portanto a afirmação é falsa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área é 15 km², que é menor que 20 km², então a afirmação de que tem mais que 20 km² é errada. O gabarito é a letra E.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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