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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
ce222091
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNB
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Vestibular Indígena
Utilizado na culinária, especialmente na forma de creme ou suco, o açaí, fruto de uma palmeira amazônica (o açaizeiro), tem o formato esférico, com diâmetro que varia de 1 cm a 2,5 cm. A parte que se destina ao consumo de cada fruto é a polpa, que corresponde, em geral, a 10% do volume do fruto. Rico em antioxidantes e gorduras saudáveis, o açaí é um alimento fundamental na dieta das populações da região Norte do Brasil.A partir dessas informações e considerando o formato esférico do açaí, julgue o item a seguir.Considere que, dez anos após o plantio, a altura de um açaizeiro seja igual a 12 metros; considere, ainda, que, no décimo primeiro ano, ele cresça 1 metro e que, a partir do décimo segundo ano, ele cresça anualmente 90% do crescimento apresentado no ano anterior. Nessa situação, esse açaizeiro jamais ultrapassará 25 metros de altura.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Progressão Geométrica: limite da soma infinita

Gabarito: letra C — CERTO. O crescimento do açaizeiro forma uma progressão geométrica (PG) com razão 0,9, cuja soma dos termos tende a um limite finito. Somando a altura inicial (12 m) com o crescimento do 11º ano (1 m) e com a soma infinita da PG de crescimento (que converge para 10 m), a altura máxima teórica é 23 m, portanto jamais ultrapassará 25 m.

O problema descreve um crescimento que diminui a uma taxa constante de 10% ao ano. Isso é a definição de uma progressão geométrica decrescente, e a soma de seus termos infinitos converge para um valor finito. A fórmula da soma dos termos de uma PG infinita é:

S∞=a11−qS_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q}

onde a1a_1 é o primeiro termo e qq é a razão (com ∣q∣<1|q| < 1).

Vamos aplicar isso ao problema:

  1. Altura aos 10 anos: 12 m.

  2. Crescimento no 11º ano: 1 m. Altura após o 11º ano: 12 + 1 = 13 m.

  3. Crescimento no 12º ano: 90% de 1 m = 0,9 m.

  4. Crescimento no 13º ano: 90% de 0,9 m = 0,81 m.

  5. E assim por diante.

Os crescimentos anuais a partir do 12º ano formam a PG: 0,9; 0,81; 0,729; ... com primeiro termo a1=0,9a_1 = 0,9 e razão q=0,9q = 0,9.

A soma de todos esses crescimentos infinitos é:

S∞=0,91−0,9=0,90,1=9 mS_{\infty} = \frac{0,9}{1 - 0,9} = \frac{0,9}{0,1} = 9 \text{ m}

Portanto, a altura máxima que a árvore pode atingir é:

Hmaˊx=12+1+9=22 mH_{máx} = 12 + 1 + 9 = 22 \text{ m}

Como 22 m < 25 m, a afirmação de que o açaizeiro jamais ultrapassará 25 metros está correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a intuição de que "crescer 90% do ano anterior" significa crescer para sempre, sem limite. O candidato que não conhece a soma da PG infinita pode tentar somar alguns termos e achar que o crescimento vai ultrapassar 25 m. A chave é reconhecer que, como a razão é menor que 1, a soma converge para um valor finito. Com treino, você identifica PG infinita e aplica a fórmula na hora. 💪

Item — ✅ CERTO

O item está correto. A altura total converge para 22 m, que é menor que 25 m. A soma infinita dos crescimentos é finita porque a razão da PG é 0,9 (menor que 1 em módulo).

Gabarito: letra C — CERTO.

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