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Questão de Matemática — Trigonometria — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaTrigonometria
Código
ce222092
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNB
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Vestibular Indígena
Utilizado na culinária, especialmente na forma de creme ou suco, o açaí, fruto de uma palmeira amazônica (o açaizeiro), tem o formato esférico, com diâmetro que varia de 1 cm a 2,5 cm. A parte que se destina ao consumo de cada fruto é a polpa, que corresponde, em geral, a 10% do volume do fruto. Rico em antioxidantes e gorduras saudáveis, o açaí é um alimento fundamental na dieta das populações da região Norte do Brasil.A partir dessas informações e considerando o formato esférico do açaí, julgue o item a seguir.Caso a produção, em quilogramas, de frutos anuais produzidos por uma touceira de açaí seja representada pela expressão Q(x) = 10 − 10sen(πx/6), em que 1 ≥ x ≥ 12 corresponda ao número do mês, sendo janeiro o mês 1, fevereiro o mês 2 e assim por diante, então a produção dessa touceira será máxima no mês de junho.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função seno e produção máxima

Gabarito: ✅ ERRADO. A produção máxima da touceira de açaí ocorre no mês de setembro (mês 9), e não em junho. Isso porque a função Q(x)=10−10 sen(πx6)Q(x) = 10 - 10\,\text{sen}\left(\frac{\pi x}{6}\right) atinge seu valor máximo quando o seno é mínimo, ou seja, quando sen(πx6)=−1\text{sen}\left(\frac{\pi x}{6}\right) = -1, o que ocorre para πx6=3π2\frac{\pi x}{6} = \frac{3\pi}{2}, resultando em x=9x = 9.

A questão envolve a análise de uma função trigonométrica do tipo Q(x)=a−b sen(kx)Q(x) = a - b\,\text{sen}(kx). O valor máximo de QQ ocorre quando o termo senoidal é o menor possível, pois ele está sendo subtraído de uma constante. Como o seno varia entre −1-1 e 11, o valor mínimo de sen(πx6)\text{sen}\left(\frac{\pi x}{6}\right) é −1-1, o que torna Q(x)=10−10(−1)=20Q(x) = 10 - 10(-1) = 20.

Para encontrar o mês em que isso acontece, resolvemos:

sen(πx6)=−1⇒πx6=3π2+2kπ\text{sen}\left(\frac{\pi x}{6}\right) = -1 \Rightarrow \frac{\pi x}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi

Para k=0k = 0, temos x=9x = 9. Como xx varia de 1 a 12, o mês 9 corresponde a setembro. Portanto, a afirmação de que a produção é máxima em junho está incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre máximo e mínimo da função seno. Como a função é Q(x)=10−10 sen(⋅)Q(x) = 10 - 10\,\text{sen}(\cdot), o máximo de QQ ocorre quando o seno é mínimo (−1-1), e não quando é máximo (+1+1). Se o candidato pensar que o máximo ocorre quando o seno é +1+1, encontraria πx6=π2⇒x=3\frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = 3 (março), ou, se pensar em junho (x=6x=6), teria sen(π)=0\text{sen}(\pi) = 0, o que daria Q=10Q = 10, que não é o máximo. A pegadinha está em inverter o raciocínio: o sinal negativo antes do seno inverte o comportamento.

Caso

Atribuição de seno

Resultado

Máximo de Q (seno mínimo)

sen(πx/6) = −1 → x = 9 (setembro)

Q = 20 (máximo)

Afirmação do item (junho)

sen(π·6/6) = sen(π) = 0

Q = 10 (não é máximo)

Confusão comum (seno máximo)

sen(πx/6) = +1 → x = 3 (março)

Q = 0 (mínimo)

Alternativa E — ✅ Correta (gabarito)

A afirmativa diz que a produção máxima ocorre em junho. Como demonstrado, o máximo ocorre em setembro (x=9x=9). Portanto, a afirmativa é falsa, e a alternativa correta é a E) Errado.

Gabarito: letra E

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