Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222095

MatemáticaÁlgebra

Código: ce222095
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UNB
Ano: 2025
Nível: Médio

Cargo: Vestibular Indígena

Utilizado na culinária, especialmente na forma de creme ou suco, o açaí, fruto de uma palmeira amazônica (o açaizeiro), tem o formato esférico, com diâmetro que varia de 1 cm a 2,5 cm. A parte que se destina ao consumo de cada fruto é a polpa, que corresponde, em geral, a 10% do volume do fruto. Rico em antioxidantes e gorduras saudáveis, o açaí é um alimento fundamental na dieta das populações da região Norte do Brasil. A partir dessas informações e considerando o formato esférico do açaí, julgue o item a seguir. Considere que, por meio do uso de técnicas agrícolas adequadas, a produção anual, em quilogramas, de uma touceira de açaí aumente de forma que a quantidade de quilogramas anuais t, anos após o instante inicial t = 0, seja dada pela expressão P(t) = 12e (¹ − ¹/t) . Nesse caso, sendo ln(9/4) = 0,8, a produção anual atingirá 27 kg antes do oitavo ano.

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GabaritoC — Certo

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Função Exponencial e Logaritmos: produção de açaí

Gabarito: ✅ CERTO. A produção anual atinge 27 kg quando $P(t) = 27$ , ou seja, $12e^{1 - 1/t} = 27$ . Resolvendo: $e^{1 - 1/t} = 9/4$ , aplicando $\ln$ dos dois lados, $1 - 1/t = \ln(9/4) = 0{}8$ , logo $1/t = 0{}2$ e $t = 5$ anos. Como 5 < 8, a produção atinge 27 kg antes do oitavo ano.

A questão cobra a resolução de uma equação exponencial usando logaritmos. O ponto central é reconhecer que, para isolar a variável $t$ no expoente, aplicamos o logaritmo natural (ou qualquer base conveniente) em ambos os lados da igualdade. A função exponencial e a função logarítmica são inversas, então $\ln(e^x) = x$ .

A banca fornece o valor de $\ln(9/4) = 0{}8$ justamente para que o candidato não precise calcular o logaritmo, apenas substituir. A pegadinha está em não confundir o valor de $t$ encontrado (5 anos) com o prazo mencionado (8 anos) — a pergunta é se atinge antes do oitavo ano, e 5 < 8, então a afirmação é verdadeira.

Etapa	Equação/Operação	Resultado
1	$P(t) = 12e^{1 - 1/t} = 27$	$12e^{1 - 1/t} = 27$
2	Dividir por 12	$e^{1 - 1/t} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$
3	Aplicar $\ln$ em ambos os lados	$1 - 1/t = \ln(9/4) = 0{}8$
4	Isolar $1/t$	$1/t = 1 - 0{}8 = 0{}2$
5	Calcular $t$	$t = 1/0{}2 = 5$ anos
6	Comparar com 8 anos	$5 < 8$ → antes do oitavo ano

Item — ✅ CERTO

Vamos resolver passo a passo:

Igualar a função a 27: $P(t) = 27 \Rightarrow 12e^{1 - 1/t} = 27$ .
Isolar a exponencial: dividindo ambos os lados por 12, obtemos $e^{1 - 1/t} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$ .
Aplicar o logaritmo natural: como $\ln$ e $e^x$ são funções inversas, $\ln(e^{1 - 1/t}) = 1 - 1/t$ . Assim, $1 - 1/t = \ln(9/4)$ .
Substituir o valor dado: $\ln(9/4) = 0{}8$ , logo $1 - 1/t = 0{}8$ .
Isolar $t$ : $1/t = 1 - 0{}8 = 0{}2$ , portanto $t = 1/0{}2 = 5$ anos.
Concluir: como $5 < 8$ , a produção atinge 27 kg antes do oitavo ano. A afirmação está correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a achar que o valor de $t$ (5 anos) é o prazo final, mas a pergunta é se atinge antes do oitavo ano. Como 5 < 8, a resposta é certa. Fique atento: a questão não pede o tempo exato, mas a comparação com o limite de 8 anos.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de função exponencial com logaritmos, sempre isole a exponencial antes de aplicar o log. Aqui, o passo crítico foi dividir por 12 para obter $e^{1 - 1/t} = 9/4$ . Depois, use a propriedade $\ln(e^x) = x$ para simplificar. Treine esse tipo de resolução para ganhar agilidade.

Gabarito: ✅ CERTO

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Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

Função Exponencial e Logaritmos: produção de açaí

Item — ✅ CERTO