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Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
ce222126
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNB
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Vestibular Letras-Libras
    Uma equipe de engenharia foi contratada para instalar 5 novos postes de iluminação distintos na Universidade de Brasília. Os postes deverão ter formato cilíndrico, altura de 9 m e diâmetro de 60 cm. Suas respectivas posições de instalação foram marcadas em um mapa da universidade. Dois dos postes serão instalados nos pontos P1(4, 3) e P2(12, 10), marcados no plano cartesiano, com distâncias medidas em metros.


     Após a instalação dos postes, uma equipe fará inspeções e visitará 3 postes distintos em sequência. A ordem da visita a esses postes é importante. Os outros dois postes serão, então, vistoriados por um drone que decolará da origem O(0, 0) do sistema cartesiano. Durante sua manobra de decolagem, a altura h, em metros, em função do tempo t, em segundos, para esse modelo de drone, é dada pela função horária h(t) = −2t2 + 15t. 
Com base nessas informações, julgue o item que se segue.Considere que, após a instalação dos postes, um técnico, cujos olhos estão a 2 m de altura do solo, observe o topo do poste a partir de um ponto no solo a 8 m horizontalmente do pé do poste. Nesse caso, o ângulo de elevação do olhar do técnico até o topo do poste será superior a 45°.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Ângulo de elevação: tangente e comparação com 45°

Gabarito: ERRADO. O ângulo de elevação do olhar do técnico até o topo do poste é inferior a 45°, pois a tangente desse ângulo é menor que 1 (a tangente de 45° é igual a 1). O poste tem 9 m de altura, os olhos do técnico estão a 2 m do solo, então a altura vertical relevante é 9 − 2 = 7 m, e a distância horizontal é 8 m. Assim, tan(θ) = 7/8 = 0,875 < 1, o que implica θ < 45°.

O problema envolve um triângulo retângulo imaginário formado pela linha de visão do técnico, a altura do poste acima dos olhos dele e a distância horizontal até o pé do poste. O ângulo de elevação é o ângulo entre a linha horizontal (na altura dos olhos) e a linha de visão até o topo. A razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto (altura acima dos olhos) com o cateto adjacente (distância horizontal) é a tangente.

A chave está em não usar a altura total do poste (9 m) diretamente, mas sim a altura relativa aos olhos do observador (9 − 2 = 7 m). Esse é o erro clássico que a banca explora: o candidato apressado calcula tan(θ) = 9/8 = 1,125 > 1 e conclui que o ângulo é maior que 45°, caindo na pegadinha.

Para comparar com 45°, basta lembrar que tan(45°) = 1. Se a tangente do ângulo em questão for menor que 1, o ângulo é menor que 45°; se for maior que 1, o ângulo é maior que 45°. Como 7/8 = 0,875 < 1, o ângulo é menor que 45°.

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que o ângulo de elevação será superior a 45°. Isso está incorreto. Calculando:

  • Altura do poste: 9 m

  • Altura dos olhos do técnico: 2 m

  • Altura do topo em relação aos olhos: 9 − 2 = 7 m

  • Distância horizontal do pé do poste: 8 m

  • Tangente do ângulo de elevação: tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente = 7/8 = 0,875

Como tan(45°) = 1 e 0,875 < 1, o ângulo θ é menor que 45°. Portanto, a afirmação de que o ângulo é superior a 45° é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a usar a altura total do poste (9 m) em vez da altura relativa aos olhos do observador (7 m). Se você calcular tan(θ) = 9/8 = 1,125, concluiria erroneamente que o ângulo é maior que 45°. Lembre-se: o ângulo de elevação é medido a partir da linha horizontal na altura dos olhos, não do solo. Subtraia sempre a altura do observador.

PEGA ESSA DICA!

Para comparar um ângulo com 45°, não precisa calcular o ângulo em si. Basta comparar a tangente com 1: se tan(θ) < 1, então θ < 45°; se tan(θ) > 1, então θ > 45°. Essa comparação direta economiza tempo e evita erros de cálculo.

Gabarito: ERRADO.

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