Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

Mistura de farelos: sistema de equações e média ponderada

Gabarito: letra B — 330 kg do farelo A e 270 kg do farelo B. A resolução combina a soma total (A + B = 600) com a equação da proteína (0,30A + 0,10B = 0,21 × 600), formando um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. A alternativa correta é a única que satisfaz simultaneamente as duas condições.

O problema é um clássico de mistura com média ponderada: a porcentagem final de proteína (21%) é a média ponderada das porcentagens dos dois farelos (30% e 10%), em que os pesos são as quantidades de cada um. A pegadinha mais comum é resolver apenas a soma (A + B = 600) e esquecer a equação da proteína — ou, ao contrário, acertar a proteína e errar o total. Vamos montar o sistema completo.

Seja $A$ a quantidade do farelo A e $B$ a quantidade do farelo B, em kg. Temos duas condições:

1. Total da mistura: $A + B = 600$

2. Teor de proteína: a quantidade de proteína vinda de A é $0{,}30A$; a vinda de B é $0{,}10B$. A mistura final tem 21% de proteína sobre 600 kg, ou seja, $0{,}21 \times 600 = 126$ kg de proteína. Logo: $0{,}30A + 0{,}10B = 126$

Da primeira equação, $B = 600 - A$. Substituindo na segunda:

$0{,}30A + 0{,}10(600 - A) = 126$

$0{,}30A + 60 - 0{,}10A = 126$

$0{,}20A = 66$

$A = 330$

E, portanto, $B = 600 - 330 = 270$.

Confirmação: $0{,}30 \times 330 + 0{,}10 \times 270 = 99 + 27 = 126$ kg de proteína, exatamente 21% de 600 kg. ✅

Alternativa A — ❌ Incorreta

370 kg de A e 230 kg de B somam 600 kg, mas a proteína seria $0{,}30 \times 370 + 0{,}10 \times 230 = 111 + 23 = 134$ kg, o que corresponde a $134/600 \approx 22{,}3\%$ — acima dos 21% desejados. O erro está em usar uma proporção maior de A (mais proteico) do que a necessária.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $A = 330$ e $B = 270$ satisfazem o total (600 kg) e a proteína (126 kg = 21%). É a única combinação que equilibra corretamente os dois farelos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

350 kg de A e 250 kg de B somam 600 kg, mas a proteína seria $0{,}30 \times 350 + 0{,}10 \times 250 = 105 + 25 = 130$ kg, ou seja, $130/600 \approx 21{,}7\%$ — ainda acima de 21%. A quantidade de A está superestimada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

400 kg de A e 200 kg de B somam 600 kg, mas a proteína seria $0{,}30 \times 400 + 0{,}10 \times 200 = 120 + 20 = 140$ kg, ou seja, $140/600 \approx 23{,}3\%$ — bem acima de 21%. É a combinação com maior erro percentual entre as opções.

Alternativa E — ❌ Incorreta

210 kg de A e 390 kg de B somam 600 kg, mas a proteína seria $0{,}30 \times 210 + 0{,}10 \times 390 = 63 + 39 = 102$ kg, ou seja, $102/600 = 17\%$ — abaixo dos 21% desejados. Aqui o erro é inverso: usou-se pouco do farelo mais proteico.

Gabarito: letra B