Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222221

Geometria Plana: retângulo, área e perímetro

Gabarito: letra E. Para cercar totalmente um retângulo de 600 m² com exatamente 100 m de cerca, o perímetro deve ser 100 m, ou seja, $2(L + x) = 100$ , o que dá $L + x = 50$ . Como a área é $L \cdot x = 600$ , temos $L(50 - L) = 600$ , resultando em $L^2 - 50L + 600 = 0$ , cujas raízes são 20 e 30. Portanto, $L$ deve estar entre 20 m e 30 m, exatamente o intervalo da alternativa E.

A questão mistura dois conceitos básicos da geometria plana: área do retângulo ( $A = \text{base} \times \text{altura}$ ) e perímetro (soma dos quatro lados). O candidato precisa traduzir o enunciado em equações e resolver um sistema. A pegadinha está em interpretar corretamente o que significa "cercar totalmente o terreno com 100 m de cerca": isso quer dizer que o perímetro é 100 m, não que um dos lados mede 100 m. Muitos alunos erram ao montar $L + x = 100$ (pensando que 100 é a soma de dois lados) ou ao confundir as raízes da equação com os extremos do intervalo.

Vamos ao desenvolvimento completo:

Seja $x$ a largura do retângulo. Temos:

Área: $L \cdot x = 600$
Perímetro: $2L + 2x = 100 \Rightarrow L + x = 50$

Da segunda equação, $x = 50 - L$ . Substituindo na primeira:

L(50 - L) = 600 \Rightarrow 50L - L^2 = 600 \Rightarrow L^2 - 50L + 600 = 0

Resolvendo por Bhaskara:

\Delta = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100

L = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}

Portanto, $L = 30$ ou $L = 20$ . Como $L$ é o comprimento (geralmente o maior lado), $L$ pode ser 30 m (e $x = 20$ m) ou 20 m (e $x = 30$ m). Ou seja, o comprimento $L$ assume valores entre 20 m e 30 m, incluindo os extremos.

A alternativa E traz exatamente esse intervalo: $20 \text{ m} \le L \le 30 \text{ m}$ .

Caso	Atribuição (L, x)	Resultado
L = 15	x = 35	Área = 525 ≠ 600 → Inviável
L = 24	x = 26	Área = 624 ≠ 600 → Inviável
L = 12	x = 38	Área = 456 ≠ 600 → Inviável
L = 50	x = 0	Área = 0 ≠ 600 → Inviável
L = 10	x = 40	Área = 400 ≠ 600 → Inviável
L = 60	x = -10	Largura negativa → Inviável
L = 20	x = 30	Área = 600 e perímetro = 100 → Consistente
L = 30	x = 20	Área = 600 e perímetro = 100 → Consistente

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo $15 \le L \le 40$ é amplo demais: inclui valores como 15 m e 40 m, que não satisfazem a equação. Por exemplo, se $L = 15$ , então $x = 35$ e a área seria $15 \times 35 = 525 \neq 600$ . O erro aqui é não restringir $L$ às raízes da equação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $24 \le L \le 25$ é estreito demais e não contém as raízes 20 e 30. Se $L = 24$ , então $x = 26$ e a área seria $24 \times 26 = 624 \neq 600$ . Esse intervalo não tem relação com o problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo $12 \le L \le 50$ também é amplo demais. Inclui, por exemplo, $L = 12$ (área $12 \times 38 = 456$ ) e $L = 50$ (área $50 \times 0 = 0$ ), que não servem. Apenas 20 e 30 são válidos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo $10 \le L \le 60$ é ainda mais amplo, incluindo valores como 10 e 60, que não satisfazem a condição de área 600 com perímetro 100. Por exemplo, $L = 10$ dá $x = 40$ e área 400; $L = 60$ daria $x = -10$ , impossível.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, as raízes da equação são 20 e 30, e o comprimento $L$ deve estar entre esses valores, inclusive. O intervalo $20 \le L \le 30$ é exatamente o conjunto de valores possíveis para $L$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato confundir o perímetro com a soma de dois lados. Se você montar $L + x = 100$ em vez de $L + x = 50$ , vai cair numa equação sem solução real (ou com solução absurda) e pode chutar um intervalo errado. Lembre-se: o perímetro de um retângulo é $2L + 2x$ , então a soma de um comprimento com uma largura é a metade do perímetro.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de retângulo com área e perímetro dados, monte sempre o sistema:

$L \cdot x = A$
$L + x = P/2$

Depois, use $x = P/2 - L$ e substitua na equação da área. As raízes da equação do 2º grau serão os dois lados possíveis. Esse método resolve a maioria das questões desse tipo.

Gabarito: letra E