Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222222

Decaimento exponencial e meia-vida

Gabarito: letra D. A massa remanescente será igual a 1/5 da massa inicial após $t = 8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$ anos, resultado obtido isolando $t$ na equação $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/8}$ e aplicando logaritmos. A modelagem é a do decaimento exponencial com meia-vida de 8 anos, e a alternativa correta é exatamente a que expressa esse tempo em função dos logaritmos de 5 e 2.

O decaimento exponencial descreve como a massa de uma substância radioativa diminui ao longo do tempo. A meia-vida é o tempo necessário para que a massa caia pela metade. Na fórmula dada, $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/8}$ , o expoente negativo indica que a massa decresce; quando $t = 8$ , o expoente é $-1$ , e $m(8) = m_0/2$ , confirmando a meia-vida de 8 anos.

Para encontrar o tempo em que a massa é $1/5$ da inicial, igualamos $m(t) = m_0/5$ :

\frac{m_0}{5} = m_0 \cdot 2^{-t/8} \Rightarrow \frac{1}{5} = 2^{-t/8}

Aplicando logaritmo (em qualquer base, mas aqui usamos logaritmo decimal, $ log$):

\log\left(\frac{1}{5}\right) = \log\left(2^{-t/8}\right) \Rightarrow -\log 5 = -\frac{t}{8} \log 2

Multiplicando por $-1$ e isolando $t$ :

\log 5 = \frac{t}{8} \log 2 \Rightarrow t = 8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2}

Portanto, o tempo procurado é $8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$ anos, que corresponde à alternativa D.

A pegadinha da banca está em inverter a posição dos logaritmos (colocar $\log 2$ no numerador e $\log 5$ no denominador) ou em inserir a massa inicial (500 g) na expressão, o que não é necessário, pois a razão $1/5$ já elimina $m_0$ .

1Igualar m(t) = m₀/5
2Cancelar m₀ (razão 1/5)
3Aplicar log nos dois lados
4Isolar t → 8·log5/log2

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\log 5 + \log 500}{\log 2}$ anos. Esse valor mistura a massa inicial (500) com o logaritmo de 5, o que não tem relação com o tempo pedido. A massa inicial não entra na expressão final, pois a condição é uma razão ( $1/5$ ) que cancela $m_0$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $8 \cdot \frac{\log 2}{\log 5}$ anos. Aqui os logaritmos estão invertidos: o correto é $\frac{\log 5}{\log 2}$ , não $\frac{\log 2}{\log 5}$ . Essa inversão é a armadilha clássica da questão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{8} \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$ anos. O fator $1/8$ está errado: o correto é multiplicar por 8 (a meia-vida), não dividir. O tempo deve crescer com a meia-vida, então o fator multiplicativo é 8.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente o resultado obtido: $t = 8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$ anos. A dedução acima confirma que essa é a expressão correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $8 \cdot \frac{\log 5 + \log 500}{\log 2}$ anos. Novamente, a massa inicial (500) aparece indevidamente somada ao logaritmo de 5. A condição $m(t) = m_0/5$ não depende do valor de $m_0$ , então o termo $\log 500$ é um distrator.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de decaimento exponencial, quando a pergunta envolve uma fração da massa inicial (como $1/5$ ), a massa inicial sempre se cancela. Isole a variável no expoente e aplique logaritmo nos dois lados. Cuidado com a inversão dos logaritmos: se a base é 2, o logaritmo de 2 vai no denominador.

Gabarito: letra D