Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Progressões — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaProgressões
Código
ce222223
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIFAL-MG
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Vestibular
Em uma sala de teatro, há 25 fileiras de cadeiras. Na primeira fileira, localizada em frente ao palco, há 30 cadeiras e, em cada fileira seguinte, há exatamente 6 cadeiras a mais que na anterior.Nessa situação, o número total de cadeiras existente na sala de teatro é
  1. A756.
  2. B900.
  3. C2.175.
  4. D2.250.
  5. E2.550.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 2.550.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 2.550 cadeiras (alternativa E).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando-se uma constante (a razão) ao anterior. Ela aparece em situações de crescimento linear, como o número de cadeiras por fileira. O termo geral é a_n = a_1 + (n-1)r, que permite achar qualquer termo, e a soma dos n primeiros termos é S_n = (a_1 + a_n)n/2, que dá o total acumulado. Nesta questão, as fileiras formam uma PA com primeiro termo 30 e razão 6, e precisamos da soma dos 25 termos.

O que a questão dá

  • primeira fileira = 30 cadeiras

  • aumento por fileira = 6 cadeiras

  • número de fileiras = 25

O que queremos: o número total de cadeiras na sala de teatro

Passo 1 — Identificar os dados da progressão

Antes de calcular a soma, precisamos reconhecer que o número de cadeiras por fileira forma uma progressão aritmética (PA), pois cada fileira tem sempre 6 cadeiras a mais que a anterior. Isso nos permite usar as fórmulas específicas de PA.

NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que é uma PA e tentar resolver por outros métodos.

Passo 2 — Calcular o número de cadeiras da última fileira

A fórmula da soma de uma PA usa o primeiro e o último termo. Como não sabemos quantas cadeiras há na 25ª fileira, precisamos calculá-la usando o termo geral da PA.

Por que esta fórmula: O termo geral a_n = a_1 + (n-1)r permite achar qualquer termo da PA a partir do primeiro e da razão. Aqui, n = 25, então a_25 = 30 + (25-1)*6.

an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 30 cadeiras na primeira fileira · nn = enunciado: 25 fileiras · rr = enunciado: 6 cadeiras a mais por fileira

a25=30+(25−1)⋅6=30+24⋅6=30+144=174=174 cadeirasa_{25} = 30 + (25-1) \cdot 6 = 30 + 24 \cdot 6 = 30 + 144 = 174 = \boxed{174\ \text{cadeiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n = 25 em vez de n-1 = 24, o que daria 180 e levaria a uma soma errada.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da soma da PA

Com o primeiro termo (30) e o último (174) conhecidos, podemos somar todos os 25 termos usando a fórmula da soma da PA, que é a ferramenta certa para totalizar uma sequência aritmética.

Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S_n = (a_1 + a_n) * n / 2, pois a soma é simétrica: a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pelo número de termos.

Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 30 · ana_n = passo 2: 174 · nn = enunciado: 25

S25=(30+174)⋅252=204⋅252=51002=2550=2550 cadeirasS_{25} = \frac{(30 + 174) \cdot 25}{2} = \frac{204 \cdot 25}{2} = \frac{5100}{2} = 2550 = \boxed{2550\ \text{cadeiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, ou usar o termo geral no lugar da soma, resultando em 174 ou 180.

Resposta: 2.550 cadeiras (alternativa E)

Link permanente: /questoes/ce222223