GabaritoD — 60°.
Gabarito: letra D — a conta chega a 60° (alternativa D).
Em geometria espacial, um cubo tem arestas, faces quadradas e diagonais que ligam vértices não consecutivos de uma face. A diagonal de uma face é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são duas arestas da face; para um quadrado de lado 1, essa diagonal mede √2. Quando duas diagonais partem do mesmo vértice, elas formam um triângulo com um terceiro segmento que une seus extremos; o ângulo entre elas é o ângulo interno desse triângulo no vértice comum. A relação que governa é a lei dos cossenos, que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com um de seus ângulos: c² = a² + b² − 2ab·cos(θ). Se os três lados forem iguais, o triângulo é equilátero e todos os ângulos medem 60°. Nesta questão, precisamos identificar corretamente quais são os extremos das diagonais e o segmento que os une, para então aplicar a lei dos cossenos e descobrir o ângulo.
aresta do cubo = 1
duas diagonais de faces adjacentes partindo do mesmo vértice
O que queremos: o ângulo entre essas duas diagonais
Para visualizar o problema, precisamos dar nomes aos vértices. Isso permite identificar com precisão quais diagonais estamos considerando e qual segmento une seus extremos, evitando confusão.
Não nomear os vértices pode levar a escolher as diagonais erradas, como as que vão para vértices consecutivos, o que muda o triângulo e o ângulo.
O enunciado pede diagonais de faces adjacentes que passam pelo mesmo vértice. No vértice A, três faces se encontram: a face inferior (ABCD), a face lateral esquerda (ADHE) e a face lateral frontal (ABFE). Precisamos escolher duas dessas faces e suas diagonais que partem de A. Por exemplo, na face inferior, a diagonal que parte de A vai para o vértice oposto C; na face frontal, a diagonal que parte de A vai para o vértice oposto F. Essas são as diagonais AC e AF.
Escolher diagonais que vão para vértices consecutivos (como AB ou AD) em vez de vértices opostos da face — isso não são diagonais, são arestas.
Cada diagonal de uma face é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são duas arestas do cubo, ambas medindo 1. Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal mede √(1² + 1²) = √2. Precisamos desse valor para usar na lei dos cossenos.
Por que esta fórmula: A diagonal de um quadrado de lado L é L√2, pois é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles. Aqui L = 1, então a diagonal é √2.
De onde vem cada valor: = enunciado: aresta do cubo = 1
Esquecer que a diagonal de uma face é √2 e usar 1, o que daria um triângulo errado.
Para formar um triângulo com as duas diagonais, precisamos do terceiro lado: o segmento que liga os extremos C e F. Esse segmento é uma diagonal de outra face do cubo, a face BCGF (a face lateral direita). Como essa face também é um quadrado de lado 1, CF também mede √2.
Por que esta fórmula: O segmento CF liga dois vértices opostos de uma face quadrada, então é uma diagonal dessa face e tem o mesmo comprimento das outras diagonais: √2.
De onde vem cada valor: = passo 3: diagonal de uma face de lado 1
Achar que CF é uma aresta (mede 1) ou que é a diagonal do cubo (mede √3).
Agora temos o triângulo ACF com lados AC = √2, AF = √2 e CF = √2. Os três lados são iguais, então o triângulo é equilátero. Em um triângulo equilátero, todos os ângulos internos medem 60°. O ângulo que queremos é o ângulo em A, formado pelas diagonais AC e AF, e ele mede 60°.
Por que esta fórmula: A propriedade do triângulo equilátero: se todos os lados são iguais, todos os ângulos são iguais e, como a soma dos ângulos internos é 180°, cada um mede 60°.
De onde vem cada valor: = triângulo equilátero ACF
Aplicar a lei dos cossenos com o lado CF = 1 (erro comum) e obter arccos(3/4) ≈ 41,4°, que não está nas alternativas.
Resposta: 60° (alternativa D)
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