Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

Lei dos Cossenos: cálculo do lado BC

Gabarito: letra A. O comprimento do lado BC é $3\sqrt{7}$ cm. Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC, com AB = 9 cm, AC = 6 cm e ângulo entre eles de 60°, obtemos $BC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos 60° = 81 + 36 - 54 = 63$, logo $BC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$ cm.

A Lei dos Cossenos é a ferramenta certa quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado entre eles, e queremos o terceiro lado. Ela generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo, não apenas os retângulos. A fórmula é:

onde $a$ é o lado oposto ao ângulo $\hat{A}$, e $b$ e $c$ são os outros dois lados. No nosso caso, queremos o lado BC, que é oposto ao ângulo de 60° (formado pelos lados AB e AC). Então:

• $a = BC$ (o que queremos)

• $b = AC = 6$ cm

• $c = AB = 9$ cm

• $\hat{A} = 60°$

Substituindo:

Sabemos que $\cos 60° = \frac{1}{2}$. Então:

A pegadinha aqui é sutil: muitos candidatos, ao verem dois lados e um ângulo, tentam usar o Teorema de Pitágoras diretamente, como se o triângulo fosse retângulo. Mas o ângulo de 60° não é reto, e o lado BC não é hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 9 e 6. A Lei dos Cossenos é a ferramenta correta, e o termo $-2bc\cos(\hat{A})$ faz toda a diferença — se o aluno esquecer esse termo, obteria $\sqrt{117} = 3\sqrt{13}$, que é justamente a alternativa B.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a Lei dos Cossenos, obtemos $BC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$ cm. O cálculo passo a passo está demonstrado acima: $BC^2 = 36 + 81 - 54 = 63$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$3\sqrt{13}$ cm seria o resultado se o aluno esquecesse o termo $-2bc\cos(\hat{A})$ da Lei dos Cossenos, calculando apenas $\sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$. Esse é o erro clássico de aplicar Pitágoras sem verificar se o triângulo é retângulo — e aqui não é, pois o ângulo entre os lados é 60°, não 90°.

Alternativa C — ❌ Incorreta

3 cm não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Seria um valor plausível apenas se houvesse uma relação de subtração simples (9 − 6 = 3), mas isso não se aplica a lados de um triângulo com ângulo de 60° entre eles. A Lei dos Cossenos mostra que o lado BC é maior que 3 cm.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{9}{2}\sqrt{3}$ cm = $4{,}5\sqrt{3}$ cm ≈ 7,79 cm. Esse valor não surge de nenhuma aplicação direta da Lei dos Cossenos. Poderia ser uma confusão com a fórmula da altura de um triângulo equilátero ($\frac{l\sqrt{3}}{2}$), mas aqui não temos um triângulo equilátero — os lados AB e AC são diferentes (9 e 6).

Alternativa E — ❌ Incorreta

$3\sqrt{3}$ cm ≈ 5,20 cm. Esse valor seria obtido se o aluno aplicasse a Lei dos Cossenos mas errasse o cálculo: por exemplo, se calculasse $BC^2 = 36 + 81 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos 60°$ e, por engano, usasse $\cos 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (que é o seno de 60°), obteria $BC^2 = 117 - 54\sqrt{3} \approx 23{,}5$, e $\sqrt{23{,}5} \approx 4{,}85$, que não é $3\sqrt{3}$. Na verdade, $3\sqrt{3}$ seria o resultado se o termo correto fosse $2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 54$ e o aluno subtraísse 54 de 81, esquecendo o 36: $\sqrt{81 - 54} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. Ou seja, é outro erro de cálculo comum.

Gabarito: letra A