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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
ce222228
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIFAL-MG
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Vestibular
Escolhendo-se dois animais, ao acaso, entre 6 gatos e 4 cachorros, a probabilidade de um ser gato e o outro um cachorro é igual a
  1. A6/25
  2. B8/15
  3. C4/15
  4. D2/9
  5. E1/9
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GabaritoB — 8/15

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 8/15 (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade clássica mede a chance de um evento acontecer dividindo os casos favoráveis pelos casos possíveis, quando todos têm a mesma chance. Aqui escolhemos dois animais sem reposição, ou seja, dois animais distintos, e a ordem não importa — escolher gato e depois cachorro é o mesmo que cachorro e depois gato. Por isso usamos combinações, que contam grupos sem se importar com a ordem. O total de grupos de 2 animais entre 10 é dado por C(10,2), e os grupos favoráveis são formados escolhendo 1 gato entre 6 e 1 cachorro entre 4, multiplicando as possibilidades. Nesta questão, precisamos calcular esses dois números e dividir um pelo outro.

O que a questão dá

  • 6 gatos

  • 4 cachorros

  • total de animais = 10

O que queremos: a probabilidade de escolher um gato e um cachorro

Passo 1 — Calcular o total de combinações de 2 animais

Para achar a probabilidade, precisamos saber quantos grupos diferentes de 2 animais podem ser formados com os 10 disponíveis. Como a ordem não importa, usamos combinação, que conta grupos sem repetição e sem ordem.

Por que esta fórmula: A combinação C(n, k) conta de quantas maneiras podemos escolher k elementos de um total de n, sem considerar a ordem. Aqui n = 10 e k = 2.

C(10,2)=10!2!(10−2)!=10×92C(10{,}2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2}

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: total de animais (6 gatos + 4 cachorros) · 22 = enunciado: escolhemos dois animais

C(10,2)=10×92=45C(10{,}2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45

45 combinações possíveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e usar 10 × 9 = 90, contando cada par duas vezes (ordem diferente).

Passo 2 — Calcular as combinações favoráveis de um gato e um cachorro

O evento favorável é ter exatamente um gato e um cachorro. Precisamos contar de quantas maneiras isso pode acontecer: escolher 1 gato entre 6 e 1 cachorro entre 4. Como as escolhas são independentes, multiplicamos.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo diz que se uma escolha tem m opções e outra tem n opções, o total de combinações é m × n. Aqui, escolher o gato tem 6 opções e o cachorro tem 4.

favoraˊveis=C(6,1)×C(4,1)=6×4\text{favoráveis} = C(6{,}1) \times C(4{,}1) = 6 \times 4

De onde vem cada valor: C(6,1)C(6{,}1) = enunciado: 6 gatos, escolher 1 · C(4,1)C(4{,}1) = enunciado: 4 cachorros, escolher 1

favoraˊveis=6×4=24\text{favoráveis} = 6 \times 4 = 24

favoraˊveis\text{favoráveis} = 24 combinações favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Usar 6 × 4 = 24, mas esquecer que isso já conta as duas ordens (gato-cachorro e cachorro-gato) porque estamos escolhendo grupos, não sequências.

Passo 3 — Dividir os casos favoráveis pelo total

A probabilidade é a razão entre o que queremos e o total de possibilidades. Já temos os dois números, então basta dividir.

Por que esta fórmula: A definição de probabilidade clássica: P = (casos favoráveis) / (casos possíveis).

P=2445P = \frac{24}{45}

De onde vem cada valor: 2424 = passo 2: combinações favoráveis · 4545 = passo 1: total de combinações

P=2445=815=8 /15P = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} = \boxed{8\ /15}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração, deixando 24/45, ou tentar resolver por probabilidade sequencial sem considerar as duas ordens, o que daria 4/15.

Resposta: 8/15 (alternativa B)

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