Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2025

Intervalo de confiança para a média: normal padrão × t de Student

Gabarito: letra B. Quando o tamanho da amostra é suficientemente grande, o Teorema Central do Limite garante que a média amostral se aproxima de uma distribuição normal, permitindo usar a normal padrão para obter o valor A, que também depende do tamanho da amostra (n) por meio do erro padrão. A alternativa B está correta porque descreve exatamente essa situação: para n grande, usa-se a normal padrão e o valor de A incorpora o tamanho da amostra no cálculo do erro padrão.

O intervalo de confiança para a média populacional, quando o desvio padrão populacional é desconhecido, é construído a partir da média amostral e do erro padrão estimado. A forma geral é:

onde $\bar{x}$ é a média amostral, $s$ é o desvio padrão amostral, $n$ é o tamanho da amostra e $t_{(n-1, \alpha/2)}$ é o quantil da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade. No enunciado, o intervalo é representado como $2,4 \pm A \times 1,2$, onde $A$ corresponde ao quantil multiplicado por $\frac{1}{\sqrt{n}}$.

A escolha entre a distribuição normal padrão e a distribuição t de Student depende do tamanho da amostra e do conhecimento da variância populacional. Quando a variância populacional é desconhecida (como no caso, pois temos apenas o desvio padrão amostral), a distribuição correta para amostras pequenas é a t de Student. Porém, para amostras grandes, a distribuição t de Student se aproxima da normal padrão, e o Teorema Central do Limite justifica o uso da normal.

A pegadinha da questão está em confundir quando usar a normal padrão e quando usar a t de Student. Para amostras pequenas (n < 30, por exemplo), com variância desconhecida, deve-se usar a t de Student. Para amostras grandes, a normal padrão é uma aproximação válida. A alternativa A erra ao afirmar que para n = 4 (amostra pequena) se usa a normal padrão, quando na verdade se deve usar a t de Student.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que para n = 4, o valor A é obtido com base na distribuição normal padrão. Isso está errado porque, com uma amostra pequena (n = 4) e desvio padrão populacional desconhecido, a distribuição correta é a t de Student com n - 1 = 3 graus de liberdade. A normal padrão só é adequada para amostras grandes, onde o Teorema Central do Limite garante a aproximação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta porque, para amostras suficientemente grandes, a distribuição da média amostral se aproxima da normal, e o valor A pode ser obtido pela normal padrão. Além disso, o valor de A depende do tamanho da amostra, pois o erro padrão é $\frac{s}{\sqrt{n}}$, e o quantil da normal é multiplicado por esse fator. Assim, A incorpora tanto o quantil da normal quanto o tamanho da amostra.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que, para n = 100, o valor de A diminui à medida que o nível de confiança aumenta. Isso é falso: quando o nível de confiança aumenta, o quantil da distribuição (seja normal ou t) aumenta, pois precisamos de um intervalo mais largo para ter mais confiança. Portanto, A aumenta, não diminui.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que, para um nível de confiança de 90%, o valor A deve aumentar à medida que o tamanho da amostra aumenta. Isso é falso: quando o tamanho da amostra aumenta, o erro padrão $\frac{s}{\sqrt{n}}$ diminui, pois dividimos por um número maior. Portanto, A diminui, não aumenta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o intervalo de 100% de confiança é representado por 2,4 ± 1,2, com A = 1. Isso é falso: um intervalo de 100% de confiança teria amplitude infinita, pois para ter certeza absoluta de que o parâmetro está no intervalo, precisaríamos considerar todos os valores possíveis. Na prática, o nível de confiança nunca é 100%, e o valor de A seria infinito, não 1.

Gabarito: letra B