Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222360

MatemáticaGeometria Espacial

Código: ce222360
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UNIVESP
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Supervisor Pedagógico - Área de Atuação 4: Educação Matemática e Áreas Afins

Durante uma oficina didática sobre sólidos geométricos, três modelos foram construídos com o mesmo material e com a mesma altura h. O primeiro modelo construído foi um cilindro, com raio da base r. O segundo foi um cone, com a mesma base e altura do cilindro. O terceiro foi uma semiesfera (metade de uma esfera) com raio r.Com base nessa situação hipotética e sabendo que r = h e que V é o volume de um sólido, assinale a opção em que é apresentada corretamente a ordem crescente dos volumes dos três sólidos citados na situação hipotética.

AVcone < Vsemiesfera < Vcilindro
BVcilindro < Vcone < Vsemiesfera
CVsemiesfera< Vcone < Vcilindro
DVcone < Vcilindro < Vsemiesfera
EVsemiesfera< Vcilindro < Vcone

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GabaritoA — Vcone < Vsemiesfera < Vcilindro

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Geometria Espacial: comparação de volumes

Gabarito: letra A. Com $r = h$ , os volumes são $V_{cilindro} = \pi r^2 h = \pi r^3$ , $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^3$ e $V_{semiesfera} = \frac{2}{3}\pi r^3$ . Como $\frac{1}{3} < \frac{2}{3} < 1$ , a ordem crescente é $V_{cone} < V_{semiesfera} < V_{cilindro}$ .

A questão cobra as fórmulas de volume dos três sólidos e a comparação entre elas quando as dimensões são iguais. Vamos relembrar cada fórmula:

Cilindro: $V = \pi r^2 h$ — a área da base ( $\pi r^2$ ) vezes a altura.
Cone: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ — exatamente um terço do volume do cilindro com mesma base e altura.
Esfera: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ — a semiesfera é metade disso, ou seja, $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ .

Como o enunciado impõe $r = h$ , substituímos $h$ por $r$ nas fórmulas do cilindro e do cone, ficando:

$V_{cilindro} = \pi r^3$
$V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^3$
$V_{semiesfera} = \frac{2}{3}\pi r^3$

Comparando os coeficientes ( $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ e $1$ ), a ordem crescente é clara: cone < semiesfera < cilindro.

A pegadinha clássica é esquecer o fator $\frac{1}{3}$ do cone ou confundir a semiesfera com a esfera inteira. Se o aluno usasse o volume da esfera inteira ( $\frac{4}{3}\pi r^3$ ), a semiesfera pareceria maior que o cilindro, invertendo a ordem.

1Cilindro: πr³
2Cone: ⅓πr³
3Semiesfera: ⅔πr³
4Ordem: cone < semiesfera < cilindro

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Sólido	Fórmula com (r = h)	Volume	Coeficiente de $\pi r^3$
Cone	$(\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^3)$	$(\frac{1}{3}\pi r^3)$	$(\frac{1}{3})$
Semiesfera	$(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3)$	$(\frac{2}{3}\pi r^3)$	$(\frac{2}{3})$
Cilindro	$(\pi r^2 h = \pi r^3)$	$(\pi r^3)$	(1)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A ordem $V_{cone} < V_{semiesfera} < V_{cilindro}$ está correta. Com $r = h$ , os volumes são $\frac{1}{3}\pi r^3$ , $\frac{2}{3}\pi r^3$ e $\pi r^3$ , respectivamente. Como $\frac{1}{3} < \frac{2}{3} < 1$ , a ordem crescente é exatamente essa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Inverte completamente a ordem, colocando o cilindro como o menor volume. Na verdade, o cilindro tem o maior volume ( $\pi r^3$ ), pois o cone é um terço dele e a semiesfera é dois terços.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Coloca a semiesfera como o menor volume, mas ela é $\frac{2}{3}\pi r^3$ , maior que o cone ( $\frac{1}{3}\pi r^3$ ). A ordem correta começa com o cone, não com a semiesfera.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Coloca o cilindro entre o cone e a semiesfera, mas o cilindro é o maior de todos ( $\pi r^3$ ). A ordem correta termina com o cilindro, não com a semiesfera.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Coloca o cone como o maior volume, mas ele é o menor ( $\frac{1}{3}\pi r^3$ ). A ordem correta termina com o cilindro, não com o cone.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao inverter a ordem dos sólidos ou ao usar o volume da esfera inteira em vez da semiesfera. Lembre-se: a semiesfera é metade da esfera, então seu volume é $\frac{2}{3}\pi r^3$ , não $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Com treino, você identifica essas trocas rapidamente 💪

PEGA ESSA DICA!

Para questões de comparação de volumes, escreva todas as fórmulas com as mesmas variáveis e compare os coeficientes. Aqui, todos têm $\pi r^3$ , então basta comparar $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ e $1$ .

Gabarito: letra A

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