Supervisor Pedagógico - Área de Atuação 4: Educação Matemática e Áreas Afins
Considerando dois planos, P₁ e P₂, no espaço tridimensional e um terceiro plano, P₃, perpendicular a P₁ e paralelo distinto a P₂, julgue os itens a seguir.I Os planos P₁ e P₂ são ortogonais.II Os planos P₂ e P₃ não se intersectam.III Os planos P₁ e P₂ possuem vetores normais colineares.IV O produto interno entre os vetores normais dos planos P₁ e P₃ é diferente de zero.Estão certos apenas os itens
AI e II.
BI e III.
CII e IV.
DI, III e IV.
EII, III e IV.
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GabaritoA — I e II.
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Geometria Espacial: Posições Relativas entre Planos
Gabarito: letra A — corretos apenas os itens I e II. A questão descreve P₃ perpendicular a P₁ e paralelo distinto a P₂; disso decorre que P₁ e P₂ são ortogonais (item I) e que P₂ e P₃ não se intersectam (item II), enquanto os itens III e IV são falsos. A resolução se apoia nas definições de paralelismo e perpendicularismo entre planos e na relação entre vetores normais.
A Geometria Espacial estuda as posições relativas entre planos no espaço tridimensional. Dois planos podem ser: paralelos (distintos ou coincidentes), secantes (intersectam-se numa reta) ou ortogonais (secantes com ângulo reto). A ferramenta algébrica que decide essas relações é o vetor normal ao plano — um vetor perpendicular a todas as retas contidas nele. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são colineares (múltiplos escalares entre si); são ortogonais quando seus vetores normais são perpendiculares entre si (produto interno nulo).
A banca explora exatamente essa ponte entre a geometria sintética e a analítica: o aluno precisa traduzir "perpendicular" e "paralelo" em relações entre vetores normais. A pegadinha está em inverter a correspondência — achar que planos perpendiculares têm normais paralelos, quando na verdade têm normais perpendiculares.
Caso
Relação entre planos
Relação entre vetores normais
Resultado
P₃ ⊥ P₁
P₁ e P₃ são ortogonais
normais de P₁ e P₃ são perpendiculares
produto interno nulo
P₃ ∥ P₂
P₂ e P₃ são paralelos distintos
normais de P₂ e P₃ são colineares
não se intersectam
P₁ ⊥ P₂
P₁ e P₂ são ortogonais
normais de P₁ e P₂ são perpendiculares
produto interno nulo
Relação entre planos
1Paralelos (distintos)
Normais colineares
Não se intersectam
2Ortogonais (secantes)
Normais perpendiculares
Produto interno nulo
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Item I — ✅ Correto
O item afirma que P₁ e P₂ são ortogonais. Isso é verdadeiro: como P₃ é perpendicular a P₁ e paralelo a P₂, a perpendicularidade de P₃ com P₁ se transfere para P₂. Em termos de vetores normais, se é normal a P₃ e é normal a P₁, então . Como P₃ ∥ P₂, temos . Logo, , o que significa que P₁ e P₂ são ortogonais. A afirmação está correta.
Item II — ✅ Correto
O item afirma que P₂ e P₃ não se intersectam. Isso é verdadeiro: o enunciado diz que P₃ é "paralelo distinto" a P₂. Dois planos paralelos distintos não possuem nenhum ponto em comum, portanto não se intersectam. A afirmação está correta.
Item III — ❌ Incorreto
O item afirma que P₁ e P₂ possuem vetores normais colineares. Isso é falso: como vimos, P₁ e P₂ são ortogonais, o que implica que seus vetores normais são perpendiculares entre si, não colineares. Vetores normais colineares caracterizam planos paralelos, não ortogonais. A afirmação está incorreta.
Item IV — ❌ Incorreto
O item afirma que o produto interno entre os vetores normais de P₁ e P₃ é diferente de zero. Isso é falso: como P₃ é perpendicular a P₁, seus vetores normais são perpendiculares, e o produto interno entre vetores perpendiculares é zero. A afirmação está incorreta.
NÃO CAIA NESSA!
A banca inverte a relação entre perpendicularismo de planos e colinearidade de normais. Muitos candidatos confundem: planos perpendiculares têm normais perpendiculares (produto interno nulo), não colineares. Lembre-se: paralelismo de planos ↔ normais colineares; perpendicularismo de planos ↔ normais perpendiculares. Com essa chave, você resolve qualquer questão do tipo.
Gabarito: letra A — corretos apenas os itens I e II.