Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222362

Identidades trigonométricas: expressões em função de t = tg(x/2)

Gabarito: letra C. A expressão $\csc x - \cot x$ pode ser reescrita como $\frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ . Usando as identidades de arco metade, $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ e $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ , obtemos $\frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = \tan(x/2) = t$ . Portanto, a expressão é igual a $t$ .

A questão explora a habilidade de manipular identidades trigonométricas, especialmente as fórmulas de arco metade. O ponto central é reconhecer que $\csc x - \cot x$ pode ser simplificado para uma expressão que envolve apenas $\tan(x/2)$ . Vamos detalhar o raciocínio:

Definições básicas: $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ e $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ . Portanto, $\csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ .

Identidades de arco metade:
- $1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$
- $\sin x = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$

Substituição e simplificação:
$$
$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = \tan\left(\frac{x}{2}\right) = t.$
$$

Essa é uma identidade clássica que relaciona $\csc x - \cot x$ com a tangente do arco metade. A banca explora justamente o conhecimento dessas transformações.

Expressão	Definição	Substituição (arco metade)	Resultado
$\csc x - \cot x$	$\frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$	$\frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}$	$\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = \tan(x/2) = t$
$\sin x$	—	$\frac{2t}{1+t^2}$	$\frac{2t}{1+t^2}$
$\cos x$	—	$\frac{1-t^2}{1+t^2}$	$\frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\tan x$	—	$\frac{2t}{1-t^2}$	$\frac{2t}{1-t^2}$
$\csc x + \cot x$	$\frac{1+\cos x}{\sin x}$	$\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}$	$\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} = \frac{1}{t}$

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $1/t$ . Isso seria o valor de $\cot(x/2)$ , não de $\csc x - \cot x$ . O candidato que confunde as relações inversas pode cair nessa armadilha, mas a expressão correta é $t$ , não seu inverso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1-t}{1+t}$ . Essa expressão aparece em outras identidades, como $\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$ , mas não corresponde a $\csc x - \cot x$ . É um distrator que mistura fórmulas de tangente da diferença.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\csc x - \cot x = \tan(x/2) = t$ . A simplificação usando as identidades de arco metade confirma exatamente essa igualdade.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{2t}{1+t^2}$ . Essa é a fórmula para $\sin x$ em função de $t = \tan(x/2)$ : $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ . O candidato que memoriza as fórmulas de substituição universal pode confundir, mas aqui a expressão pedida é outra.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ . Essa é a fórmula para $\cos x$ em função de $t$ : $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ . Novamente, é uma identidade relacionada, mas não é o valor de $\csc x - \cot x$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca mistura as fórmulas de transformação em função de $t = \tan(x/2)$ . As alternativas D e E trazem exatamente as expressões de $\sin x$ e $\cos x$ em função de $t$ , que são muito cobradas. O aluno que decora essas fórmulas sem entender a origem pode marcar uma delas, mas a questão pede $\csc x - \cot x$ , que se simplifica para $t$ . Fique atento: sempre que aparecer $\csc x - \cot x$ , lembre-se da identidade $\csc x - \cot x = \tan(x/2)$ .

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, memorize as principais identidades de arco metade:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$
$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\tan x = \frac{2t}{1-t^2}$
$\csc x - \cot x = t$
$\csc x + \cot x = \frac{1}{t}$

Essas relações são úteis em diversas questões de trigonometria.

Gabarito: letra C