Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222363

Trigonometria: cosseno do arco triplo

Gabarito: letra D. Como $\tan \theta = \sqrt{5}$ e $\theta$ está no primeiro quadrante, temos $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ e $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$ . Aplicando a fórmula do cosseno do arco triplo, $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ , obtemos $\cos 3\theta = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ , que corresponde à alternativa D.

A questão exige o domínio de duas ferramentas: a relação fundamental da trigonometria e as fórmulas de multiplicação de arcos. Vamos por partes.

Primeiro, precisamos encontrar $\cos \theta$ a partir de $\tan \theta$ . Sabemos que $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ e que $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ . Uma forma direta é usar a identidade $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ . Como $\theta$ está no primeiro quadrante, o cosseno é positivo.

Com $\tan \theta = \sqrt{5}$ , temos:

1 + (\sqrt{5})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \Rightarrow 1 + 5 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \Rightarrow 6 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{6} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}

Agora, aplicamos a fórmula do cosseno do arco triplo:

\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta

Substituindo $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$ :

\cos 3\theta = 4\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = \frac{4}{6\sqrt{6}} - \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}} - \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{2 - 9}{3\sqrt{6}} = -\frac{7}{3\sqrt{6}}

Racionalizando:

-\frac{7}{3\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = -\frac{7\sqrt{6}}{18}

Portanto, $\cos 3\theta = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ , que é exatamente a alternativa D.

1Achar cos θ via sec²θ
2Aplicar fórmula do arco triplo
3Substituir e simplificar
4Racionalizar o resultado

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Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}}{3}$ é o valor de $\tan \theta$ dividido por $\sqrt{3}$ , ou seja, $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$ . Isso não corresponde a nenhuma razão trigonométrica direta de $\theta$ ou de $3\theta$ . O candidato pode ter confundido $\cos 3\theta$ com $\frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}$ ou com $\sin \theta$ simplificado incorretamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{30}}{6}$ é o valor de $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ , que é exatamente $\sin \theta$ . O candidato que calculou $\sin \theta$ corretamente, mas esqueceu de aplicar a fórmula do arco triplo, marcaria esta alternativa. É um distrator clássico: apresenta o valor de uma função trigonométrica do ângulo simples, não do triplo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$-1$ é o valor de $\cos \pi$ , ou seja, $\cos 180°$ . O candidato pode ter pensado que $3\theta$ seria um ângulo notável, mas com $\tan \theta = \sqrt{5}$ , temos $\theta \approx 65,9°$ , então $3\theta \approx 197,7°$ , cujo cosseno não é $-1$ . Também poderia ser uma confusão com $\cos 3\theta$ quando $\theta = 60°$ , mas isso não se aplica aqui.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, $\cos 3\theta = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ . O sinal negativo é esperado, pois $3\theta$ está no terceiro quadrante (já que $\theta \approx 65,9°$ , $3\theta \approx 197,7°$ ), onde o cosseno é negativo. A alternativa está correta e é o gabarito.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$-\frac{2}{3}$ é um valor que poderia surgir de uma simplificação incorreta de $\frac{2 - 9}{3\sqrt{6}}$ se o candidato ignorasse a raiz no denominador, ou de uma confusão com $\cos 2\theta$ ou outra identidade. Não corresponde ao valor correto de $\cos 3\theta$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as funções trigonométricas do ângulo simples e do arco triplo. O candidato que calcula $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ e marca a alternativa B, ou que simplifica incorretamente a expressão final e chega a $-\frac{2}{3}$ , cai na armadilha. A chave é lembrar que $\cos 3\theta$ exige a fórmula de multiplicação de arcos, não apenas a relação fundamental.

PEGA ESSA DICA!

Para questões que pedem $\cos 3\theta$ , $\sin 3\theta$ ou $\tan 3\theta$ , memorize as fórmulas de arco triplo: $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ , $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ , e $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$ . Se você esquecer, pode derivá-las usando as fórmulas de soma de arcos: $\cos(2\theta + \theta)$ e $\sin(2\theta + \theta)$ .

Gabarito: letra D