Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

Geometria Plana: Pentágono inscrito e o polígono dos pontos médios

Gabarito: letra D. O pentágono Q, formado pelos pontos médios dos lados consecutivos de P, é um pentágono regular cujo raio da circunferência circunscrita é $R \cdot \cos(36^\circ)$. Isso porque o lado de Q é a base de um triângulo isósceles com vértice no centro de P, e a distância do centro ao ponto médio do lado de P (o apótema) é exatamente $R \cos(36^\circ)$ — e esse apótema é o raio da circunferência que passa pelos vértices de Q.

A questão mistura dois conceitos que parecem iguais, mas não são: o apótema do pentágono P (distância do centro ao ponto médio de um lado) e o raio da circunferência circunscrita a Q. O ponto médio de cada lado de P está a uma distância do centro igual ao apótema de P. Como Q é formado por esses pontos médios, a circunferência que passa por eles tem raio igual a esse apótema. Para um pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio $R$, o apótema é dado por $a = R \cos(36^\circ)$, pois o ângulo central é $72^\circ$ e o apótema é o cateto adjacente ao ângulo de $36^\circ$ no triângulo retângulo formado pelo raio, o apótema e metade do lado.

A pegadinha está em confundir o apótema com o lado ou com o raio da circunferência original. O candidato que lembra que o lado do pentágono é $\ell = 2R \sin(36^\circ)$ pode achar que o raio de Q é metade disso, mas o correto é usar o apótema. Vamos ver cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$R/2$ seria o raio da circunferência inscrita em um hexágono regular, não no pentágono. Para o pentágono, o apótema é $R \cos(36^\circ) \approx 0,809R$, que é maior que $R/2$. A banca coloca esse valor para testar quem confunde o pentágono com o hexágono, onde o apótema é $R \cos(30^\circ) = R\sqrt{3}/2 \approx 0,866R$ — ainda assim não é $R/2$. Na verdade, $R/2$ é o apótema do triângulo equilátero inscrito, pois $a_3 = R/2$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$R - R\cos(36^\circ)$ é a distância do centro ao ponto médio do arco, ou seja, a diferença entre o raio e o apótema. Isso não corresponde a nenhum elemento do pentágono Q. O candidato pode ter pensado em subtrair o apótema do raio, mas o raio de Q é exatamente o apótema, não a diferença.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$R \sin(36^\circ)$ é a metade do lado do pentágono P, pois $\ell/2 = R \sin(36^\circ)$. O lado de Q é menor que isso, e o raio de Q é o apótema, não a metade do lado. A banca troca o apótema pelo semi-lado, uma confusão clássica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$R \cos(36^\circ)$ é exatamente o apótema do pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio $R$. No triângulo retângulo formado pelo raio $R$, o apótema $a$ e metade do lado, o ângulo no centro é $36^\circ$ (metade do ângulo central de $72^\circ$). Assim, $\cos(36^\circ) = a/R$, logo $a = R \cos(36^\circ)$. Como Q é formado pelos pontos médios dos lados de P, cada vértice de Q está a essa distância do centro, então o raio da circunferência circunscrita a Q é $R \cos(36^\circ)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$R \cos(54^\circ)$ é igual a $R \sin(36^\circ)$, pois $\cos(54^\circ) = \sin(36^\circ)$ (ângulos complementares). Portanto, essa alternativa também corresponde à metade do lado de P, não ao apótema. A banca usa a identidade trigonométrica para disfarçar o mesmo erro da alternativa C.

Gabarito: letra D