Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222366

Geometria Plana: Lei dos Senos

Gabarito: letra A. Para determinar o comprimento do lado $AC$ em um triângulo onde conhecemos dois ângulos e um lado, utilizamos a Lei dos Senos, que estabelece que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante para todos os lados do triângulo.

Primeiramente, identificamos o terceiro ângulo do triângulo $\Delta ABC$ . Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é $180^\circ$ , temos:

$\angle ACB = 180^\circ - (135^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

Aplicando a Lei dos Senos:

$\frac{AC}{\text{sen}(\angle ABC)} = \frac{AB}{\text{sen}(\angle ACB)}$

Substituindo os valores conhecidos ( $AB = 2\,\text{cm}$ , $\angle ABC = 15^\circ$ , $\angle ACB = 30^\circ$ ):

$\frac{AC}{\text{sen}(15^\circ)} = \frac{2}{\text{sen}(30^\circ)}$

Sabemos que $\text{sen}(30^\circ) = 0,5$ e o valor de $\text{sen}(15^\circ)$ pode ser calculado pela fórmula do seno da diferença: $\text{sen}(45^\circ - 30^\circ) = \text{sen}(45^\circ)\cos(30^\circ) - \text{sen}(30^\circ)\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Assim:

$AC = \frac{2 \cdot \text{sen}(15^\circ)}{\text{sen}(30^\circ)} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{0,5} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}\,\text{cm}$ .

Caso	Atribuição	Resultado
1	AC = √6 - √2 cm	Consistente (gabarito)
2	AC = √3/2 cm	Incorreto
3	AC = 1/√2 cm	Incorreto
4	AC = 1/2 cm	Incorreto
5	AC = √6 + √2 cm	Incorreto

1Ângulo ACB = 30°
2Lei: AC/sen15° = 2/sen30°
3sen15° = (√6-√2)/4
4AC = √6 - √2 cm

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Esta alternativa apresenta o valor exato calculado pela aplicação correta da Lei dos Senos, correspondendo ao comprimento do lado $AC$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{\sqrt{3}}{2}$ não condiz com o resultado da aplicação trigonométrica necessária para este triângulo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (ou $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) é o seno de $45^\circ$ , não sendo o comprimento do lado $AC$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $0,5$ não representa a medida do lado $AC$ calculada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Este valor inverte o sinal da diferença encontrada na fórmula do seno de $15^\circ$ , resultando em um valor incorreto para o lado $AC$ .

PEGA ESSA DICA!

Sempre que encontrar ângulos como $15^\circ$ ou $75^\circ$ em problemas de geometria, lembre-se de utilizar as fórmulas de soma ou diferença de arcos ( $45^\circ \pm 30^\circ$ ou $45^\circ \pm 60^\circ$ ) para obter os valores exatos dos senos e cossenos.