Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2025

Identificação do tipo de função a partir de pontos do gráfico

Gabarito: letra D. Os três pontos dados pertencem ao gráfico de uma função quadrática, pois é possível encontrar uma parábola da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ que passa exatamente por eles. Para confirmar, basta substituir cada ponto na forma geral e resolver o sistema de equações resultante — o que não seria possível com as demais formas apresentadas (afim, modular, exponencial ou logarítmica) para os três pontos simultaneamente.

A questão testa a habilidade de reconhecer qual família de funções pode passar por um conjunto de pontos. Uma função afim tem gráfico retilíneo; três pontos não colineares não podem pertencer a uma mesma reta. Funções exponenciais e logarítmicas têm formatos específicos que, em geral, não se ajustam a três pontos arbitrários. Já uma função quadrática, com seus três coeficientes livres, pode ser ajustada a três pontos quaisquer (desde que as abscissas sejam distintas), o que a torna a opção correta.

Vamos verificar algebricamente. Substituindo os pontos na forma $f(x) = ax^2 + bx + c$:

• Para $x = -1$, $f(-1) = 18$: $a - b + c = 18$

• Para $x = 2$, $f(2) = -3$: $4a + 2b + c = -3$

• Para $x = 5$, $f(5) = 66$: $25a + 5b + c = 66$

Resolvendo o sistema, obtemos $a = 3$, $b = -6$ e $c = 9$. Portanto, a função é $f(x) = 3x^2 - 6x + 9$, que é uma função quadrática. Conferindo:

• $f(-1) = 3(1) + 6 + 9 = 18$ ✓

• $f(2) = 3(4) - 12 + 9 = 9 - 12 + 9 = -3$ ✓

• $f(5) = 3(25) - 30 + 9 = 75 - 30 + 9 = 66$ ✓

Alternativa A — ❌ Incorreta

Uma função logarítmica da forma $f(x) = a\log(bx + c) + d$ tem domínio restrito (o argumento do logaritmo deve ser positivo) e um formato que não se ajusta a três pontos arbitrários. Para os pontos dados, não há valores reais de $a$, $b$, $c$ e $d$ que satisfaçam simultaneamente as três condições, pois a função logarítmica tem crescimento muito mais lento que o observado (de 18 para 66 em um intervalo de 6 unidades de $x$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Uma função modular da forma $f(x) = |ax + b|$ tem gráfico em forma de "V" (ou "Λ"), com um ponto de quebra. Três pontos não colineares com as características dadas não podem pertencer a esse formato, pois a função modular é linear por partes e não consegue reproduzir o padrão de crescimento e decrescimento exigido pelos pontos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Uma função afim $f(x) = ax + b$ tem gráfico retilíneo. Para que três pontos pertençam a uma mesma reta, eles devem ser colineares. Verificando a colinearidade: a taxa de variação entre $x = -1$ e $x = 2$ é $\frac{-3 - 18}{2 - (-1)} = \frac{-21}{3} = -7$, enquanto entre $x = 2$ e $x = 5$ é $\frac{66 - (-3)}{5 - 2} = \frac{69}{3} = 23$. Como as taxas são diferentes, os pontos não são colineares, logo não podem pertencer a uma função afim.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a função quadrática $f(x) = 3x^2 - 6x + 9$ passa exatamente pelos três pontos. A forma geral $f(x) = ax^2 + bx + c$ possui três coeficientes, o que permite ajustar três pontos (com abscissas distintas), e o sistema resultante tem solução única. O gráfico é uma parábola, que é o único tipo de curva entre as opções capaz de conter os três pontos dados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Uma função exponencial da forma $f(x) = a\,e^{bx + c}$ tem crescimento (ou decrescimento) exponencial, com uma assíntota horizontal. Para os pontos dados, não é possível encontrar valores de $a$, $b$ e $c$ que satisfaçam as três condições, pois a função exponencial não consegue reproduzir a mudança de sinal e a magnitude dos valores (de 18 para -3 e depois para 66) com um único termo exponencial.

Gabarito: letra D