Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222368

Potenciação de números complexos: Primeira Fórmula de De Moivre

Gabarito: letra D (1024i). Para calcular a décima potência de $z = 1 + i$ , usamos a forma trigonométrica (polar) e a Primeira Fórmula de De Moivre: elevamos o módulo à potência e multiplicamos o argumento pelo expoente. O módulo de $1+i$ é $\sqrt{2}$ e seu argumento é $45°$ (ou $\pi/4$ ), logo $z^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot (\cos 450° + i\sin 450°) = 32 \cdot (0 + i) = 32i$ . Espere — isso dá 32i, não 1024i! Vamos recalcular com atenção: $(\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^5 = 32$ . O argumento $10 \times 45° = 450°$ , que é equivalente a $90°$ (pois $450° - 360° = 90°$ ). Portanto, $z^{10} = 32(\cos 90° + i\sin 90°) = 32(0 + i) = 32i$ . A alternativa correta é a letra D? Não — o gabarito oficial é D, mas o resultado correto é 32i, que não aparece nas alternativas. Vamos verificar o cálculo novamente: $z = 1 + i$ . $z^2 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$ . $z^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$ . $z^8 = (-4)^2 = 16$ . $z^{10} = z^8 \cdot z^2 = 16 \cdot 2i = 32i$ . Confirmado: $z^{10} = 32i$ . Nenhuma alternativa apresenta 32i. O gabarito oficial (D) aponta 1024i, que seria o resultado de $(2+2i)^{10}$ ou de um erro de cálculo. Há uma inconsistência entre o gabarito e o resultado matematicamente correto.

A questão cobra a aplicação da Primeira Fórmula de De Moivre para potências de números complexos. O caminho mais seguro é converter o número para a forma polar e aplicar a fórmula, mas também é possível calcular passo a passo usando a álgebra dos complexos. Vamos entender o método completo para você nunca mais errar.

O que é a forma polar e a Primeira Fórmula de De Moivre

Todo número complexo $z = a + bi$ pode ser escrito na forma polar (ou trigonométrica):

z = \rho \cdot (\cos \theta + i \cdot \sin \theta)

onde $\rho = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ é o módulo (distância do afixo à origem no plano de Argand-Gauss) e $\theta$ é o argumento (ângulo que o vetor forma com o eixo real).

A Primeira Fórmula de De Moivre diz que, para elevar um número complexo a uma potência $n$ , elevamos o módulo a $n$ e multiplicamos o argumento por $n$ :

z^n = \rho^n \cdot (\cos(n\theta) + i \cdot \sin(n\theta))

Essa fórmula é a ferramenta central para potências de números complexos — é ela que resolve a questão de forma elegante e rápida.

Aplicando ao caso $z = 1 + i$

Passo 1 — Calcular o módulo:

$\rho = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Passo 2 — Calcular o argumento:

O afixo de $1+i$ é o ponto $(1,1)$ no plano de Argand-Gauss, que está no primeiro quadrante. O ângulo cujo cosseno e seno são ambos $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ é $45°$ (ou $\pi/4$ radianos). Logo, $\theta = 45°$ .

Passo 3 — Aplicar De Moivre com $n = 10$ :

z^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot (\cos(10 \times 45°) + i \cdot \sin(10 \times 45°))

z^{10} = 2^{5} \cdot (\cos 450° + i \cdot \sin 450°)

Passo 4 — Reduzir o ângulo:

$450° - 360° = 90°$ , então $\cos 450° = \cos 90° = 0$ e $\sin 450° = \sin 90° = 1$ .

z^{10} = 32 \cdot (0 + i \cdot 1) = 32i

Resultado: $z^{10} = 32i$ .

Verificação alternativa (álgebra pura)

Para conferir, podemos calcular passo a passo sem usar trigonometria:

$z^2 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$
$z^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$
$z^8 = (-4)^2 = 16$
$z^{10} = z^8 \cdot z^2 = 16 \cdot 2i = 32i$

Confirmado: $z^{10} = 32i$ .

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

$512 - 512i$ não é o resultado. Esse valor seria obtido se o módulo fosse $\sqrt{512}$ e o argumento $45°$ , o que não corresponde a $z = 1+i$ elevado a 10. O erro aqui é imaginar que o módulo cresce de forma que a parte real e imaginária ficam iguais em módulo 512 — mas o resultado correto é puramente imaginário ( $32i$ ), sem parte real.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$512 + 512i$ também não é o resultado. Segue o mesmo raciocínio da alternativa A: o resultado correto não tem parte real. A presença de $512$ sugere que o candidato confundiu a potência de 2 ( $2^{10} = 1024$ ) com o módulo, ou aplicou a fórmula de forma incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$-1024i$ é um distrator interessante. O número $1024$ é $2^{10}$ , que aparece se o candidato elevar o módulo $\sqrt{2}$ a 10 de forma errada (como se fosse $2^{10}$ em vez de $(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ ). O sinal negativo indica que o candidato pode ter errado o sinal do seno ou usado um argumento de $270°$ em vez de $90°$ .

Alternativa D — ✅ Correta (gabarito oficial)

$1024i$ é o gabarito oficial, mas não é o resultado matematicamente correto. O cálculo correto mostra $z^{10} = 32i$ . O valor $1024i$ seria o resultado de $(2+2i)^{10}$ (cujo módulo é $\sqrt{8}$ e argumento $45°$ , dando $(\sqrt{8})^{10} = 8^5 = 32768$ , não 1024) ou de um erro de cálculo. Há uma inconsistência clara entre o gabarito e a matemática.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$1024$ (número real puro) não é o resultado. O resultado correto é imaginário puro ( $32i$ ). O número $1024$ é $2^{10}$ , que aparece se o candidato elevar o módulo de forma errada e esquecer a parte imaginária.

Conclusão

O resultado matematicamente correto de $(1+i)^{10}$ é $32i$ , que não aparece em nenhuma alternativa. O gabarito oficial aponta a letra D ( $1024i$ ), mas isso não corresponde ao cálculo correto. Se você encontrar esta questão em prova, o ideal é marcar a alternativa que mais se aproxima do resultado correto — mas, neste caso, nenhuma alternativa traz $32i$ . Fique atento: a banca pode ter cometido um erro de elaboração, ou pode haver uma pegadinha que não está clara no enunciado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato com potências de 2 ( $2^{10} = 1024$ ) e com o sinal da parte imaginária. O erro clássico é elevar o módulo $\sqrt{2}$ a 10 como se fosse $2^{10}$ , obtendo 1024, e esquecer que $(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ . Além disso, o resultado correto é imaginário puro ( $32i$ ), não um número com parte real. Se você encontrar uma questão assim, desconfie: confira sempre o módulo e o argumento antes de aplicar De Moivre.

PEGA ESSA DICA!

Para potências de números complexos, sempre converta para a forma polar primeiro. Lembre-se: $(\sqrt{2})^{10} = 2^{5} = 32$ , não $1024$ . E reduza o ângulo $n\theta$ para o intervalo $[0°, 360°)$ antes de calcular o cosseno e o seno. Pratique com $z = 1+i$ para $n = 2, 4, 8, 10$ — você verá o padrão: $z^2 = 2i$ , $z^4 = -4$ , $z^8 = 16$ , $z^{10} = 32i$ .

Gabarito oficial: letra D — mas o resultado correto é $32i$ , que não está nas alternativas.