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Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaÁlgebra
Código
ce222370
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Supervisor Pedagógico - Área de Atuação 4: Educação Matemática e Áreas Afins
Texto 4A1-I

     Certo professor ministra aulas para uma turma de 8 alunos e decidiu passar tarefas de casa por dez semanas consecutivas. Para incentivar os estudantes a fazê-las, ele estabeleceu o seguinte sistema de notas como parte da avaliação: a turma começará com 100 pontos; a cada semana, o professor sorteará aleatoriamente 4 estudantes; se nenhum dos estudantes sorteados tiver feito a tarefa, a turma perde 8 pontos; se todos os estudantes sorteados tiverem feito a tarefa, a turma ganha 12 pontos; se, ao final, a turma alcançar mais que 100 pontos, a pontuação excedente será aproveitada na nota de outra avaliação. 
Considerando a situação hipotética apresentada no texto 4A1-I, assinale a opção em que é apresentada uma pontuação excedente que pode ser alcançada pela turma em apreço.
  1. A25 pontos
  2. B34 pontos
  3. C48 pontos
  4. D57 pontos
  5. E62 pontos
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GabaritoC — 48 pontos

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 48 pontos (alternativa C).

A ideia por trás

A pontuação excedente é o total de pontos que a turma acumula acima da base de 100, ao longo das 10 semanas. Cada semana contribui com um de dois valores: +12 (se todos os sorteados fizeram a tarefa) ou −8 (se nenhum fez). O excedente final é a soma algébrica dessas contribuições, ou seja, uma combinação linear: E = 12x − 8y, onde x é o número de semanas com ganho e y o número com perda, com x + y ≤ 10. Como 12 e 8 são pares, o excedente é sempre um número par; além disso, a equação impõe restrições de divisibilidade. Nesta questão, precisamos testar cada alternativa para ver se existe uma combinação inteira de x e y que produza aquele valor, respeitando o limite de 10 semanas.

O que a questão dá

  • 10 semanas

  • ganho por semana = +12 pontos

  • perda por semana = −8 pontos

O que queremos: qual das pontuações excedentes listadas pode ser alcançada pela turma

Passo 1 — Montar a expressão do excedente

Precisamos traduzir o problema em uma equação que relacione o número de semanas com ganho e com perda ao excedente total. Como cada semana só pode contribuir com +12 ou −8, o excedente é a soma dessas contribuições.

Por que esta fórmula: A expressão E = 12x − 8y é a combinação linear das contribuições: cada semana de ganho adiciona 12, cada semana de perda subtrai 8. Essa é a única forma de calcular o excedente, pois não há outros valores possíveis por semana.

E=12x−8yE = 12x - 8y

De onde vem cada valor: EE = excedente total (incógnita) · xx = número de semanas com ganho (a determinar) · yy = número de semanas com perda (a determinar)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que x + y ≤ 10, ou seja, o total de semanas usadas não pode passar de 10.

Passo 2 — Perceber que o excedente é sempre par

Antes de testar cada alternativa, notamos que 12 e 8 são pares, então qualquer combinação 12x − 8y é par. Isso elimina de cara as alternativas ímpares.

Por que esta fórmula: A paridade é uma propriedade da expressão: subtração de dois números pares resulta em par. Portanto, E só pode ser par.

NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que 25 e 57 são ímpares e já podem ser descartados.

Passo 3 — Testar a alternativa A (25 pontos)

Vamos verificar se 25 pode ser escrito como 12x − 8y. Como 25 é ímpar e a expressão é sempre par, é impossível.

Por que esta fórmula: A equação 12x − 8y = 25 não tem solução inteira porque o lado esquerdo é par e o direito é ímpar.

12x−8y=2512x - 8y = 25

De onde vem cada valor: 2525 = alternativa A

12x−8y=25=impossıˊvel12x - 8y = 25 = \boxed{\text{imposs}í\text{vel}}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar forçar uma solução mesmo sendo ímpar.

Passo 4 — Testar a alternativa B (34 pontos)

34 é par, então não é eliminado pela paridade. Precisamos verificar se a equação tem solução inteira.

Por que esta fórmula: Dividindo a equação por 2, obtemos 6x − 4y = 17. O lado esquerdo é par (múltiplo de 2), mas o direito é ímpar, então não há solução.

12x−8y=3412x - 8y = 34

De onde vem cada valor: 3434 = alternativa B

12x−8y=34=impossıˊvel12x - 8y = 34 = \boxed{\text{imposs}í\text{vel}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que por ser par já é possível; é preciso checar a divisibilidade por 4.

Passo 5 — Testar a alternativa C (48 pontos)

48 é par e múltiplo de 4, então pode ser possível. Vamos encontrar uma solução inteira.

Por que esta fórmula: Dividindo por 4, obtemos 3x − 2y = 12. Uma solução é x = 6, y = 3, pois 3·6 − 2·3 = 18 − 6 = 12. E x + y = 9 ≤ 10, então é válida.

12x−8y=4812x - 8y = 48

De onde vem cada valor: 4848 = alternativa C

12⋅6−8⋅3=72−24=48=48 pontos12 \cdot 6 - 8 \cdot 3 = 72 - 24 = 48 = \boxed{48\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Não verificar que x + y ≤ 10; aqui 6 + 3 = 9, então sobra uma semana neutra.

Passo 6 — Testar as alternativas D e E (57 e 62)

57 é ímpar, então é impossível pela paridade. 62 é par, mas ao dividir por 2 obtemos 6x − 4y = 31, que é par = ímpar, impossível.

Por que esta fórmula: Para 57, a paridade já elimina. Para 62, a divisão por 2 mostra que o lado esquerdo é par e o direito ímpar, então não há solução.

12x−8y=57e12x−8y=6212x - 8y = 57 \quad \text{e} \quad 12x - 8y = 62

De onde vem cada valor: 5757 = alternativa D · 6262 = alternativa E

12x−8y=57e12x−8y=62=impossıˊvel12x - 8y = 57 \quad \text{e} \quad 12x - 8y = 62 = \boxed{\text{imposs}í\text{vel}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 62 é possível por ser par, sem checar a divisibilidade.

Resposta: 48 pontos (alternativa C)

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