Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222372

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática

Código: ce222372
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UNIVESP
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Supervisor Pedagógico - Área de Atuação 4: Educação Matemática e Áreas Afins

Texto 4A1-I

Certo professor ministra aulas para uma turma de 8 alunos e decidiu passar tarefas de casa por dez semanas consecutivas. Para incentivar os estudantes a fazê-las, ele estabeleceu o seguinte sistema de notas como parte da avaliação: a turma começará com 100 pontos; a cada semana, o professor sorteará aleatoriamente 4 estudantes; se nenhum dos estudantes sorteados tiver feito a tarefa, a turma perde 8 pontos; se todos os estudantes sorteados tiverem feito a tarefa, a turma ganha 12 pontos; se, ao final, a turma alcançar mais que 100 pontos, a pontuação excedente será aproveitada na nota de outra avaliação.

Ainda na situação apresentada no texto 4A1-I, se, na primeira semana, exatamente 4 estudantes da turma tiverem feito a tarefa, então a probabilidade de a turma não perder e nem ganhar pontos nessa semana é

Asuperior ou igual a 80% e inferior a 90%.
Bsuperior ou igual a 90%.
Cinferior a 60%.
Dsuperior ou igual a 60% e inferior a 70%.
Esuperior ou igual a 70% e inferior a 80%.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — superior ou igual a 90%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Probabilidade com combinação: sorteio de 4 entre 8 alunos

Gabarito: letra B. A probabilidade de a turma não perder nem ganhar pontos na primeira semana é de 90%, pois, com exatamente 4 dos 8 alunos tendo feito a tarefa, o evento "não perder nem ganhar" ocorre quando o sorteio seleciona 2 alunos que fizeram e 2 que não fizeram a tarefa. O número de casos favoráveis é $C_{4,2} \times C_{4,2} = 6 \times 6 = 36$ , e o total de sorteios possíveis é $C_{8,4} = 70$ , resultando em $\frac{36}{70} = \frac{18}{35} \approx 0{,}5143$ , o que é inferior a 60% — mas o gabarito oficial aponta a letra B (superior ou igual a 90%).

Vamos entender o problema. A turma tem 8 alunos, e o professor sorteia 4 deles a cada semana. As regras de pontuação são:

Se nenhum dos sorteados fez a tarefa: perde 8 pontos.
Se todos os sorteados fizeram a tarefa: ganha 12 pontos.
Em qualquer outro caso (ou seja, quando o grupo sorteado tem alguns que fizeram e alguns que não fizeram): não há alteração de pontos.

Na primeira semana, sabemos que exatamente 4 alunos fizeram a tarefa. Portanto, há 4 alunos que fizeram (grupo F) e 4 que não fizeram (grupo N).

O evento "não perder nem ganhar" ocorre quando o sorteio seleciona um grupo que não é composto exclusivamente por alunos que fizeram (o que daria +12) nem exclusivamente por alunos que não fizeram (o que daria −8). Ou seja, o grupo sorteado deve conter pelo menos um de cada tipo. Como o grupo tem 4 alunos e há exatamente 4 de cada tipo, as únicas possibilidades que não alteram a pontuação são:

1 que fez e 3 que não fizeram
2 que fizeram e 2 que não fizeram
3 que fizeram e 1 que não fez

Vamos calcular a probabilidade somando os casos favoráveis.

Total de sorteios possíveis: escolher 4 alunos entre 8, sem ordem:

C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70

Casos favoráveis:

1 que fez e 3 que não: $C_{4,1} \times C_{4,3} = 4 \times 4 = 16$
2 que fizeram e 2 que não: $C_{4,2} \times C_{4,2} = 6 \times 6 = 36$
3 que fizeram e 1 que não: $C_{4,3} \times C_{4,1} = 4 \times 4 = 16$

Somando: $16 + 36 + 16 = 68$ casos favoráveis.

Portanto, a probabilidade é:

P = \frac{68}{70} = \frac{34}{35} \approx 0{,}9714 = 97{,}14\%

Esse valor é superior ou igual a 90%, o que corresponde à letra B.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato considerar apenas o caso "2 que fizeram e 2 que não", esquecendo que também não há alteração de pontos quando o grupo tem 1 ou 3 alunos que fizeram a tarefa. O candidato apressado calcula $\frac{36}{70} \approx 51\%$ e marca a letra C (inferior a 60%), caindo na armadilha. Lembre-se: a regra do problema só prevê perda ou ganho quando todos os sorteados estão no mesmo grupo (todos fizeram ou todos não fizeram). Qualquer grupo misto — com 1, 2 ou 3 alunos que fizeram — mantém a pontuação inalterada.

Sorteio de 4 entre 8 alunos — só Fizeram a tarefa: 4; só Não fizeram a tarefa: 4; Fizeram a tarefa∩Não fizeram a tarefa: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 80% e 90%. O valor correto é aproximadamente 97,14%, que ultrapassa 90%. Quem chega a esse intervalo provavelmente considerou apenas o caso "2 e 2" e ainda errou no cálculo, ou usou um raciocínio incompleto.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade é $\frac{34}{35} \approx 97{,}14\%$ , que é superior ou igual a 90%. Todos os grupos mistos (1–3, 2–2, 3–1) mantêm a pontuação, e eles somam 68 dos 70 sorteios possíveis.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é inferior a 60%. Esse seria o resultado se considerássemos apenas o caso "2 e 2" ( $\frac{36}{70} \approx 51\%$ ), ignorando os casos "1 e 3" e "3 e 1". É a pegadinha clássica da questão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 60% e 70%. Não há nenhum cálculo razoável que leve a esse intervalo; provavelmente é um distrator numérico sem correspondência direta com o problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 70% e 80%. Também não corresponde a nenhum cálculo correto; é outro distrator.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de probabilidade com grupos, liste todos os casos que satisfazem a condição pedida. Aqui, a condição "não perder nem ganhar" inclui qualquer grupo que não seja homogêneo. Desenhe uma tabela com as possíveis composições (1–3, 2–2, 3–1) e some as combinações. Isso evita o erro de considerar apenas um caso.

Gabarito: letra B

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