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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
ce222373
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Supervisor Pedagógico - Área de Atuação 4: Educação Matemática e Áreas Afins
Texto 4A1-I

     Certo professor ministra aulas para uma turma de 8 alunos e decidiu passar tarefas de casa por dez semanas consecutivas. Para incentivar os estudantes a fazê-las, ele estabeleceu o seguinte sistema de notas como parte da avaliação: a turma começará com 100 pontos; a cada semana, o professor sorteará aleatoriamente 4 estudantes; se nenhum dos estudantes sorteados tiver feito a tarefa, a turma perde 8 pontos; se todos os estudantes sorteados tiverem feito a tarefa, a turma ganha 12 pontos; se, ao final, a turma alcançar mais que 100 pontos, a pontuação excedente será aproveitada na nota de outra avaliação. 
Considerando a situação hipotética apresentada no texto 4A1-I, assinale a opção na qual é apresentado o número de maneiras distintas que o professor poderá sortear os estudantes que terão seus cadernos vistoriados semanalmente.
  1. A32
  2. B70
  3. C80
  4. D210
  5. E6.720
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GabaritoB — 70

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 70 maneiras (alternativa B).

A ideia por trás

A análise combinatória estuda maneiras de contar agrupamentos. Quando a ordem dos elementos não importa, usamos combinação; quando importa, usamos arranjo. A combinação simples de n elementos tomados k a k é dada por C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), que conta quantos subconjuntos de k elementos podemos formar. Nesta questão, sortear 4 estudantes entre 8 sem considerar a ordem é exatamente uma combinação, pois o grupo sorteado é o mesmo independentemente da sequência.

O que a questão dá

  • total de estudantes = 8

  • estudantes sorteados por semana = 4

O que queremos: o número de maneiras distintas de sortear 4 estudantes entre 8

Passo 1 — Identificar o tipo de contagem

Precisamos decidir se a ordem importa. No sorteio de um grupo, a ordem não importa: sortear A, B, C, D é o mesmo que D, C, B, A. Portanto, usamos combinação, não arranjo.

Por que esta fórmula: A combinação é a ferramenta certa quando queremos contar subconjuntos sem ordem. A fórmula é C(n,k) = n! / (k!(n-k)!).

Cn,k=n!k!(n−k)!C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

De onde vem cada valor: nn = enunciado: total de estudantes = 8 · kk = enunciado: estudantes sorteados = 4

NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (A_{8,4}) porque acha que a ordem importa, mas no sorteio de um grupo a ordem não faz diferença.

Passo 2 — Substituir os valores na fórmula

Com n=8 e k=4, substituímos na fórmula da combinação para calcular o número de grupos possíveis.

Por que esta fórmula: A fórmula da combinação já foi escolhida; agora basta aplicar os números.

C8,4=8!4!(8−4)!=8!4!⋅4!C_{8,4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}

De onde vem cada valor: 88 = passo 1: total de estudantes · 44 = passo 1: estudantes sorteados

C8,4=8!4!⋅4!C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair no denominador: usar (8-4)! = 4!, mas errar ao escrever 4! no lugar de (8-4)!.

Passo 3 — Calcular o fatorial e simplificar

Precisamos simplificar a expressão para obter o número final. Expandimos os fatoriais e cancelamos termos comuns.

Por que esta fórmula: Expandir 8! até 4! permite cancelar com o 4! do denominador, simplificando o cálculo.

C8,4=8⋅7⋅6⋅5⋅4!4!⋅4!=8⋅7⋅6⋅54⋅3⋅2⋅1C_{8,4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

De onde vem cada valor: 8⋅7⋅6⋅58 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = passo 2: expansão de 8! até 4! · 4⋅3⋅2⋅14 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = passo 2: 4! no denominador

C8,4=8⋅7⋅6⋅54⋅3⋅2⋅1C_{8,4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
NÃO CAIA NESSA!

Não cancelar o 4! corretamente, resultando em contas maiores e erros.

Passo 4 — Efetuar a divisão final

Com a expressão simplificada, realizamos a multiplicação e divisão para obter o número de combinações.

Por que esta fórmula: Agora é aritmética básica: multiplicamos os números do numerador e dividimos pelo denominador.

C8,4=168024=70C_{8,4} = \frac{1680}{24} = 70

De onde vem cada valor: 16801680 = passo 3: 8765 · 2424 = passo 3: 4321

C8,4=168024=70=70 maneirasC_{8,4} = \frac{1680}{24} = 70 = \boxed{70\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação (ex.: 87=56, 566=336, 336*5=1680) ou a divisão (1680/24=70).

Resposta: 70 maneiras (alternativa B)

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