Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2025

Geometria Espacial: volume de pirâmide e prisma

Gabarito: letra D. A pirâmide tem exatamente um terço do volume do prisma quando ambos possuem a mesma área da base e a mesma altura, pois o volume do prisma é $V_{prisma} = A_b \cdot h$ e o da pirâmide é $V_{pirâmide} = \frac{1}{3} A_b \cdot h$. Essa relação é uma propriedade fundamental da geometria espacial, válida para qualquer pirâmide e prisma com bases equivalentes e alturas iguais.

A questão explora a comparação entre os volumes de dois sólidos com mesma base e mesma altura. O prisma reto de base quadrada tem volume dado pelo produto da área da base pela altura: $V_{prisma} = A_b \cdot h$. Já a pirâmide, também de base quadrada e mesma altura, tem volume igual a um terço desse produto: $V_{pirâmide} = \frac{1}{3} A_b \cdot h$. Portanto, a razão entre os volumes é sempre $V_{pirâmide} = \frac{1}{3} V_{prisma}$, independentemente do formato específico da base (quadrada, retangular, triangular etc.).

A pegadinha da banca está em tentar associar a relação de volumes a características superficiais, como o número de faces ou a posição do vértice. Esses fatores não influenciam o volume; o que importa é apenas a área da base e a altura. O candidato que não domina a fórmula pode ser levado a pensar que a pirâmide, por "afunilar", teria volume maior ou igual, mas a matemática mostra exatamente o contrário: ela é um terço do prisma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o volume do prisma é igual ao quadrado da área da base vezes a altura. Isso está errado: o volume do prisma é o produto da área da base pela altura, $V = A_b \cdot h$, e não o quadrado da área da base. O quadrado da área da base ($A_b^2$) não tem significado geométrico direto para o volume de um prisma.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Diz que a pirâmide e o prisma têm o mesmo volume por terem base e altura idênticas. Isso contraria a fórmula: a pirâmide tem volume igual a um terço do prisma, justamente porque a fórmula da pirâmide inclui o fator $\frac{1}{3}$. A igualdade de base e altura não implica igualdade de volumes; a forma do sólido (se é prisma ou pirâmide) é determinante.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a pirâmide tem o dobro do volume do prisma por possuir menos faces. Há dois erros: primeiro, a relação correta é inversa — a pirâmide tem um terço do volume do prisma, não o dobro; segundo, o número de faces não tem relação com o volume. O volume depende apenas da área da base e da altura, não da quantidade de faces.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a afirmação correta. A pirâmide tem exatamente um terço do volume do prisma quando ambos têm a mesma área da base e a mesma altura. A fórmula $V_{pirâmide} = \frac{1}{3} A_b \cdot h$ confirma essa relação, que é uma propriedade clássica da geometria espacial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que o volume da pirâmide é maior que o do prisma porque o vértice está acima do centro da base. Isso é falso: a posição do vértice não altera o volume, e a pirâmide tem volume menor (um terço) que o prisma. A justificativa apresentada é irrelevante para o cálculo do volume.

Gabarito: letra D