Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

Geometria Plana: Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra A. Em um triângulo retângulo $\Delta ABC$ com ângulo reto em $A$, a altura relativa à hipotenusa ($h = AP$) divide a hipotenusa em dois segmentos (projeções dos catetos), aqui denominados $m$ e $n$. As relações métricas fundamentais estabelecem que o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa ($b^2 = a \cdot n$ e $c^2 = a \cdot m$) e que o quadrado da altura é o produto das projeções ($h^2 = m \cdot n$). Com os dados fornecidos ($m = 6$ cm e $n = 9$ cm), o cateto $AC$ (ou $b$) é dado por $b^2 = a \cdot n$, onde $a = m + n = 15$ cm. Assim, $b^2 = 15 \cdot 9 = 135$, logo $b = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$ cm. Contudo, a questão pede o comprimento de $AB$ (ou $c$): $c^2 = a \cdot m = 15 \cdot 6 = 90$, logo $c = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ cm.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa indicada como correta pela banca. Em problemas de geometria, quando os valores não coincidem com a dedução algébrica, verifique se houve troca na interpretação dos segmentos ou se a figura original possuía medidas diferentes das transcritas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $12$ cm não corresponde ao cálculo de nenhum dos catetos ($3\sqrt{10}$ ou $3\sqrt{15}$) nem da altura ($h = \sqrt{6 \cdot 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $3$ cm é significativamente menor que as medidas esperadas para os catetos de um triângulo com projeções de $6$ e $9$ cm.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $3\sqrt{3}$ cm é inferior ao valor da altura calculada ($3\sqrt{6}$ cm), não sendo compatível com as relações métricas do triângulo retângulo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma soma de valores que não condiz com a aplicação do Teorema de Pitágoras ou das relações métricas para as medidas dadas.

Gabarito: letra A