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Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
ce222463
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Supervisor Pedagógico - Área de Atuação 9: Matemática e Áreas Afins

    Um triângulo ΔABC foi inscrito em uma circunferência de raio 5 cm. H corresponde ao pé da altura relativa ao vértice A e o centro da circunferência é um ponto no interior do triângulo ΔAHC.


Na situação apresentada, se Imagem associada para resolução da questão 7 cm, então o segmento  Imagem associada para resolução da questão mede

  1. A10√2 cm.
  2. B1 cm.
  3. C7√2 cm.
  4. D5√2 cm.
  5. E8 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5√2 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Plana: Triângulo Inscrito em Circunferência

Gabarito: letra D. O segmento AB‾\overline{AB} mede 525\sqrt{2} cm. A resolução baseia-se na aplicação do Teorema dos Senos no triângulo ΔABC\Delta ABC inscrito em uma circunferência de raio R=5R=5 cm, onde a relação fundamental é asen(A^)=2R\frac{a}{\text{sen}(\hat{A})} = 2R.

Análise da Questão

O enunciado informa que o triângulo ΔABC\Delta ABC está inscrito em uma circunferência de raio R=5R=5 cm. Temos que AH‾=CH‾=7\overline{AH} = \overline{CH} = 7 cm. Como HH é o pé da altura relativa ao vértice AA, o triângulo ΔAHC\Delta AHC é um triângulo retângulo em HH.

Considerando que AH‾=7\overline{AH} = 7 e CH‾=7\overline{CH} = 7, o triângulo ΔAHC\Delta AHC é retângulo e isósceles. Assim, o ângulo C^\hat{C} (ou ∠ACH\angle ACH) mede 45∘45^\circ. No triângulo ΔABC\Delta ABC, o lado AB‾\overline{AB} opõe-se ao ângulo C^\hat{C}. Pelo Teorema dos Senos:

AB‾sen(C^)=2R\frac{\overline{AB}}{\text{sen}(\hat{C})} = 2R

Substituindo os valores conhecidos (R=5R=5 e C^=45∘\hat{C}=45^\circ):

AB‾sen(45∘)=2×5\frac{\overline{AB}}{\text{sen}(45^\circ)} = 2 \times 5
AB‾22=10\frac{\overline{AB}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10
AB‾=10×22=52\overline{AB} = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}

Portanto, a medida do segmento AB‾\overline{AB} é 525\sqrt{2} cm, o que corresponde à letra D.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que um triângulo estiver inscrito em uma circunferência, o Teorema dos Senos é a ferramenta mais poderosa para relacionar lados e ângulos com o raio (RR). Lembre-se que 2R2R é o diâmetro da circunferência circunscrita.

Gabarito: letra D

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