Raciocínio Lógico · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222552

Raciocínio Lógico – Equivalência Lógica

Gabarito: letra D. A proposição $(P \land Q) \lor (R \land S)$ é equivalente a $((P \lor R) \land (Q \lor R)) \land ((P \land Q) \lor S)$ , obtida pela aplicação sucessiva da propriedade distributiva da conjunção sobre a disjunção. As demais alternativas falham em preservar a tabela-verdade original.

A banca testa a capacidade de manipular expressões lógicas usando equivalências notáveis, especialmente a distributiva. A resolução mais direta é simplificar a alternativa D e verificar que ela se reduz à original.

1Expressão original: (P∧Q)∨(R∧S)
2Distributiva: (P∨R)∧(Q∨R)
3Junção: [(P∧Q)∨R]
4Distributiva: [(P∧Q)∨R]∧[(P∧Q)∨S]
5Resultado: (P∧Q)∨(R∧S)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

$A = (P \lor S) \land (P \lor R) \lor ((R \lor Q) \land S)$ . A expressão é mal formada (falta parênteses para definir a precedência), mas mesmo interpretando como $[(P \lor S) \land (P \lor R)] \lor [(R \lor Q) \land S]$ , ela não é equivalente. Por exemplo, quando $P=V, Q=F, R=F, S=V$ , a original é falsa, mas A é verdadeira (primeira parcela verdadeira).

Alternativa B — ❌ Incorreta

$B = (P \land S) \land (R \lor Q)$ . Esta conjunção é muito mais restritiva que a original. Exemplo: $P=F, Q=V, R=V, S=V$ torna a original verdadeira (pois $R\land S$ é verdade), mas B é falsa (pois $P\land S$ é falsa).

Alternativa C — ❌ Incorreta

$C = (R \lor S) \lor (P \lor Q) = P \lor Q \lor R \lor S$ . A original é falsa quando exatamente uma das conjunções é falsa e a outra também? Na verdade, original é falsa apenas quando nem $(P\land Q)$ nem $(R\land S)$ são verdadeiras. Por exemplo, $P=V, Q=F, R=F, S=F$ : original falsa, mas $C$ verdadeira (pois $P$ é verdade). Discrepância.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$D = ((P \lor R) \land (Q \lor R)) \land ((P \land Q) \lor S)$ .

Simplificação:

Primeiro, $(P \lor R) \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor R$ (distributiva: $(A\lor B)\land(C\lor B) \equiv (A\land C)\lor B$ ).
Então $D \equiv [(P \land Q) \lor R] \land [(P \land Q) \lor S]$ .
Aplique novamente a distributiva: $(X \lor R) \land (X \lor S) \equiv X \lor (R \land S)$ , com $X = P \land Q$ .
Logo $D \equiv (P \land Q) \lor (R \land S)$ , que é exatamente a proposição original. Portanto, são equivalentes.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$E = (P \lor R) \lor (Q \lor S) = P \lor Q \lor R \lor S$ , mesma falha de C.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que uma alternativa parecer muito diferente da original, tente simplificá-la usando as leis de distribuição e De Morgan. A equivalência $(A\land B)\lor(C\land D)$ pode ser reescrita como $(A\lor C)\land(A\lor D)\land(B\lor C)\land(B\lor D)$ (quatro termos), mas aqui a banca usou uma simplificação engenhosa em duas etapas.

MNEMÔNICO

NEYMAR

MA(R)MAntém a segunda parte (o que vem depois do ENTÃO). Assim, P→Q equivale a ~P ∨ Q ('não P ou Q'). NE = NEga a primeira parte da proposição (o que está entre o SE e o ENTÃO)Ya letra Y traz no topo o símbolo 'V', que representa a disjunção 'OU' (∨), ou seja, troca-se a condicional pelo 'ou'

Equivalência do condicional (Se...então) → disjunção

Gabarito: letra D