Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce222620

Análise Combinatória: Combinação Simples

Gabarito: letra C. O problema pede o número de maneiras de escolher 5 pessoas entre 8 para receber o prêmio, sem importar a ordem — trata-se de uma combinação simples de 8 elementos tomados 5 a 5, calculada por $C_{8,5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = 56$ . O valor do prêmio (R$ 800) é irrelevante para a contagem, pois a distribuição é igualitária e não distingue os premiados.

A combinação simples é usada quando a ordem dos elementos não importa — escolher {A, B, C, D, E} é o mesmo que {E, D, C, B, A}. A fórmula é:

C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

No caso, $n = 8$ (total de pessoas) e $p = 5$ (quantas serão premiadas). Substituindo:

C_{8,5} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56

A pegadinha clássica é confundir com arranjo (quando a ordem importa), que daria $A_{8,5} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720$ — valor que nem aparece nas alternativas. Outra confusão comum é usar o princípio multiplicativo com repetição ( $8^5$ ), que também não se aplica, pois cada pessoa só pode ser escolhida uma vez.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a diferença entre combinação e arranjo. Aqui, a ordem dos premiados não importa — todos recebem o mesmo valor (R$ 160,00 cada). Se o prêmio fosse diferenciado (1º, 2º, 3º...), seria arranjo. Fique atento: a palavra "igualmente" no enunciado é o gatilho para combinação.

1Identificar n e p
2Aplicar fórmula C(n,p)
3Simplificar fatoriais
4Obter resultado

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O número 13 não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Não há combinação, arranjo ou permutação que resulte em 13 com esses dados. É um distrator puro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

40 poderia ser obtido por $8 \times 5$ , mas isso seria apenas o produto do total de pessoas pela quantidade de premiados, sem significado combinatório. Não representa o número de maneiras de escolher 5 entre 8.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É exatamente a combinação de 8 elementos tomados 5 a 5: $C_{8,5} = 56$ . A ordem não importa, pois o prêmio é dividido igualmente entre os cinco escolhidos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

100 não é resultado de nenhuma operação combinatória direta com 8 e 5. Poderia ser $10 \times 10$ , mas não há base para isso. É um distrator numérico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

160 poderia ser obtido por $8 \times 20$ ou $5 \times 32$ , mas não corresponde a nenhuma contagem válida. Também é um distrator sem fundamento combinatório.

Gabarito: letra C — o número de maneiras de distribuir o prêmio é 56.