Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

Fatoração algébrica: diferença de potências

Gabarito: ✅ CERTO. A expressão $\frac{x^4 - y^4}{x - y}$ pode ser fatorada como $(x + y)(x^2 + y^2)$, e como $x$ e $y$ são números naturais distintos e positivos, ambos os fatores são números naturais maiores que 2, o que torna a afirmação correta.

A questão envolve a fatoração da diferença de potências. A expressão $x^4 - y^4$ é uma diferença de quadrados, pois $x^4 = (x^2)^2$ e $y^4 = (y^2)^2$. Aplicando a identidade $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, temos:

Agora, $x^2 - y^2$ também é uma diferença de quadrados, então:

Substituindo de volta:

Dividindo por $x - y$ (que é diferente de zero, pois $x \neq y$):

Agora, analisamos os fatores. Como $x$ e $y$ são números naturais positivos e distintos, o menor valor possível para cada um é 1 e 2 (em alguma ordem). Vamos verificar:

• Se $x = 1$ e $y = 2$, então $x + y = 3$ e $x^2 + y^2 = 1 + 4 = 5$. Ambos são maiores que 2.

• Se $x = 2$ e $y = 1$, o resultado é o mesmo.

• Para quaisquer outros valores maiores, os fatores serão ainda maiores.

Portanto, a expressão é sempre o produto de dois números naturais maiores que 2, confirmando a afirmação.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A fatoração da expressão resulta em $(x + y)(x^2 + y^2)$. Como $x$ e $y$ são naturais positivos e distintos, o menor valor possível para a soma $x + y$ é $1 + 2 = 3$, e o menor valor para $x^2 + y^2$ é $1^2 + 2^2 = 5$. Ambos os fatores são, portanto, maiores que 2. A expressão é sempre o produto de dois números naturais maiores que 2.

Alternativa E — ❌ ERRADO

A afirmação está errada. A fatoração correta mostra que a expressão é equivalente a $(x + y)(x^2 + y^2)$, e ambos os fatores são maiores que 2 para quaisquer valores naturais positivos e distintos de $x$ e $y$. Portanto, a afirmação de que a senha pode ser escrita como o produto de dois números naturais maiores que 2 é verdadeira, não falsa.

Gabarito: ✅ CERTO