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Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2025

EstatísticaModelos lineares
Código
ce224010
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Polícia Federal
Ano
2025
Nível
Superior
Em uma perícia sobre contratos licitatórios, foi analisada a diferença D entre os valores licitados (VL) e os valores efetivamente pagos (VP) para certo tipo de prestação de serviço. Para essa finalidade, selecionou-se uma amostra aleatória simples de 36 contratos, assumindo-se que a população seja descrita por uma distribuição normal. Os resultados mostram que, para a variável D = VL − VP, a média amostral foi R$ 5 mil e o desvio padrão amostral, R$ 3 mil. Além disso, a regressão linear simples da variável VL sobre VP, obtida pelo método de mínimos quadrados ordinários, foi VL = 0,5 + 1,1 × VP. Com base nos dados apresentados na situação hipotética precedente, julgue o próximo item. A média amostral dos valores licitados (VL) foi de R$ 50 mil.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Regressão linear simples: relação entre médias

Gabarito: letra C (CERTO). A média amostral dos valores licitados (VL) é de R$ 50 mil, pois a reta de regressão ajustada passa pelo ponto das médias amostrais: VLˉ=0,5+1,1×VPˉ\bar{VL} = 0,5 + 1,1 \times \bar{VP}. Como Dˉ=VLˉ−VPˉ=5\bar{D} = \bar{VL} - \bar{VP} = 5 (em milhares), temos VLˉ=VPˉ+5\bar{VL} = \bar{VP} + 5; substituindo na equação da reta, obtém-se VPˉ=45\bar{VP} = 45 e, portanto, VLˉ=50\bar{VL} = 50 mil.

A questão explora uma propriedade fundamental da regressão linear por mínimos quadrados ordinários: a reta ajustada sempre passa pelo ponto formado pelas médias amostrais das variáveis. Ou seja, se o modelo é VL^=a+b×VP\hat{VL} = a + b \times VP, então VLˉ=a+b×VPˉ\bar{VL} = a + b \times \bar{VP}. Isso decorre das equações normais do método de mínimos quadrados, que garantem que o resíduo médio é zero.

Além disso, a diferença D=VL−VPD = VL - VP tem média amostral Dˉ=VLˉ−VPˉ=5\bar{D} = \bar{VL} - \bar{VP} = 5 mil. Com essas duas relações, montamos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

  1. VLˉ=0,5+1,1×VPˉ\bar{VL} = 0,5 + 1,1 \times \bar{VP}

  2. VLˉ−VPˉ=5\bar{VL} - \bar{VP} = 5

Da segunda equação, VLˉ=VPˉ+5\bar{VL} = \bar{VP} + 5. Substituindo na primeira:

VPˉ+5=0,5+1,1×VPˉ\bar{VP} + 5 = 0,5 + 1,1 \times \bar{VP}

5−0,5=1,1×VPˉ−VPˉ5 - 0,5 = 1,1 \times \bar{VP} - \bar{VP}

4,5=0,1×VPˉ4,5 = 0,1 \times \bar{VP}

VPˉ=45\bar{VP} = 45 mil

Logo, VLˉ=45+5=50\bar{VL} = 45 + 5 = 50 mil. A afirmativa está correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não pede para calcular a média de VP diretamente; ela fornece a reta de regressão e a média da diferença. O candidato que não lembra que a reta passa pelo ponto das médias pode tentar resolver por tentativa ou usar o desvio padrão (R$ 3 mil) de forma indevida — mas o desvio padrão é irrelevante aqui. A chave é usar as duas relações lineares: a equação da reta e a definição de D.

Caso

Atribuição (em milhares)

Resultado

1

VPˉ=45\bar{VP} = 45, VLˉ=50\bar{VL} = 50

Consistente — satisfaz VLˉ=0,5+1,1×VPˉ\bar{VL} = 0,5 + 1,1 \times \bar{VP} e VLˉ−VPˉ=5\bar{VL} - \bar{VP} = 5

2

VPˉ=40\bar{VP} = 40, VLˉ=45\bar{VL} = 45

Contradição — VLˉ=0,5+1,1×40=44,5≠45\bar{VL} = 0,5 + 1,1 \times 40 = 44,5 \neq 45

3

VPˉ=50\bar{VP} = 50, VLˉ=55\bar{VL} = 55

Contradição — VLˉ=0,5+1,1×50=55,5≠55\bar{VL} = 0,5 + 1,1 \times 50 = 55,5 \neq 55

Item — ✅ CERTO

A média amostral de VL é de R$ 50 mil. Conforme demonstrado, a reta de regressão passa pelo ponto das médias, e a diferença das médias é 5 mil. Resolvendo o sistema, obtém-se VPˉ=45\bar{VP} = 45 mil e VLˉ=50\bar{VL} = 50 mil. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Gabarito: letra C (CERTO).

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