Em uma perícia sobre contratos licitatórios, foi analisada a diferença D entre os valores licitados (VL) e os valores efetivamente pagos (VP) para certo tipo de prestação de serviço. Para essa finalidade, selecionou-se uma amostra aleatória simples de 36 contratos, assumindo-se que a população seja descrita por uma distribuição normal. Os resultados mostram que, para a variável D = VL − VP, a média amostral foi R$ 5 mil e o desvio padrão amostral, R$ 3 mil. Além disso, a regressão linear simples da variável VL sobre VP, obtida pelo método de mínimos quadrados ordinários, foi VL = 0,5 + 1,1 × VP. Com base nos dados apresentados na situação hipotética precedente, julgue o próximo item. O desvio padrão da variável VL foi superior ao desvio padrão da variável VP .
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GabaritoC — Certo
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Regressão linear simples: relação entre desvios padrão
Gabarito: letra C (CERTO). O desvio padrão de VL é superior ao de VP porque o coeficiente angular da regressão de VL sobre VP é 1,1 (maior que 1), o que amplifica a variabilidade da variável dependente em relação à independente. A relação entre as variâncias é dada por , e como o termo de erro é não negativo, o desvio padrão de VL é necessariamente maior que o de VP.
A questão explora a relação entre as variâncias de duas variáveis ligadas por uma regressão linear simples. No modelo , o coeficiente angular indica que, em média, um aumento de 1 unidade em VP corresponde a um aumento de 1,1 unidade em VL. Essa inclinação maior que 1 já sugere que VL tem maior dispersão que VP, mas é preciso considerar também o erro aleatório .
A variância de VL pode ser decomposta em duas partes: a variância explicada pela regressão (que depende de e da variância de VP) e a variância do erro. Matematicamente:
Como e , temos que , e consequentemente o desvio padrão de VL é maior que o de VP. O valor do intercepto (0,5) não afeta a variância, pois é uma constante que apenas desloca a reta verticalmente.
A pegadinha da banca está em tentar usar os dados amostrais de D (média 5 e desvio 3) para calcular diretamente os desvios de VL e VP, o que não é possível sem informações adicionais sobre a correlação entre eles. A informação relevante é exclusivamente o coeficiente angular da regressão, que já é suficiente para responder à questão.
O item afirma que o desvio padrão de VL é superior ao de VP. Isso é verdadeiro, pois o coeficiente angular da regressão é 1,1, maior que 1. A variância de VL é dada por , e como , temos . Portanto, o desvio padrão de VL é maior que o de VP.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta induzir o candidato a usar os dados de D (média 5, desvio 3) para calcular os desvios de VL e VP, o que seria impossível sem a correlação entre eles. A chave é perceber que o coeficiente angular da regressão já é suficiente: sendo 1,1 > 1, a variabilidade de VL é amplificada em relação à de VP. Fique atento: em regressão linear, o coeficiente angular maior que 1 implica que a variável dependente tem maior dispersão que a independente, independentemente dos dados amostrais de outras variáveis.