Em uma perícia sobre contratos licitatórios, foi analisada a diferença D entre os valores licitados (VL) e os valores efetivamente pagos (VP) para certo tipo de prestação de serviço. Para essa finalidade, selecionou-se uma amostra aleatória simples de 36 contratos, assumindo-se que a população seja descrita por uma distribuição normal. Os resultados mostram que, para a variável D = VL − VP, a média amostral foi R$ 5 mil e o desvio padrão amostral, R$ 3 mil. Além disso, a regressão linear simples da variável VL sobre VP, obtida pelo método de mínimos quadrados ordinários, foi VL = 0,5 + 1,1 × VP.Com base nos dados apresentados na situação hipotética precedente, julgue o próximo item.O coeficiente de correlação linear de Pearson entre as variáveis VL e VP foi igual a 1,1.
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GabaritoE — Errado
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Coeficiente de correlação de Pearson e coeficiente angular da regressão
Gabarito: letra E (ERRADO). O coeficiente de correlação linear de Pearson entre VL e VP não é 1,1. O valor 1,1 é o coeficiente angular (inclinação) da reta de regressão de VL sobre VP, que mede a variação esperada em VL para cada aumento unitário em VP. A correlação, por sua vez, é uma medida adimensional que sempre está no intervalo [-1, 1], e o valor 1,1 está fora desse intervalo, o que já o torna impossível.
A questão explora a confusão clássica entre dois conceitos distintos da regressão linear: o coeficiente angular (β₁) e o coeficiente de correlação de Pearson (r). O coeficiente angular indica a inclinação da reta, ou seja, quanto a variável dependente (VL) varia, em média, para cada unidade de variação da variável independente (VP). Já o coeficiente de correlação mede a força e a direção da relação linear entre as duas variáveis, sendo um número puro, sem unidade de medida, que varia entre -1 e 1.
A relação entre eles é dada por:
onde é o coeficiente angular, é o desvio padrão amostral de VP e é o desvio padrão amostral de VL. Para que a correlação seja igual ao coeficiente angular, seria necessário que os desvios padrão fossem iguais, o que não é o caso. Além disso, o valor 1,1 para a correlação é matematicamente impossível, pois o coeficiente de Pearson está sempre no intervalo fechado [-1, 1].
A pegadinha da banca é justamente apresentar o coeficiente angular da reta de regressão como se fosse o coeficiente de correlação. O candidato que não domina a distinção entre esses dois conceitos pode facilmente cair na armadilha, pois o valor 1,1 aparece na equação da reta fornecida no enunciado.
Coeficiente angular (b₁)
1Inclinação da reta
2Variação em VL por unidade de VP
3Valor: 1,1
4Coeficiente de correlação (r)
Força e direção da relação
Adimensional
Intervalo: [-1, 1]
1,1 é impossível
5Relação entre eles
r = b₁ × (s_VP / s_VL)
Só iguais se desvios padrão iguais
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Item — ❌ ERRADO
A afirmação de que o coeficiente de correlação linear de Pearson entre VL e VP é igual a 1,1 está errada por dois motivos fundamentais:
O valor 1,1 é o coeficiente angular da reta de regressão, não a correlação. Na equação VL = 0,5 + 1,1 × VP, o número 1,1 multiplica a variável VP, indicando que, para cada aumento de R$ 1 mil em VP, espera-se um aumento médio de R$ 1,1 mil em VL.
O coeficiente de correlação de Pearson é sempre um número entre -1 e 1. O valor 1,1 está fora desse intervalo, o que o torna matematicamente impossível para uma correlação. A correlação mede a força da relação linear, e seu valor máximo absoluto é 1, que indicaria uma relação linear perfeita.
Para calcular a correlação, seria necessário conhecer a covariância entre VL e VP e os desvios padrão de ambas as variáveis. A partir dos dados fornecidos, sabemos que a média de D = VL − VP é 5 e o desvio padrão de D é 3, mas não temos informações suficientes para calcular diretamente a correlação entre VL e VP sem mais dados sobre a covariância ou os desvios padrão individuais.
NÃO CAIA NESSA!
A banca troca o coeficiente angular da reta de regressão pelo coeficiente de correlação de Pearson. O candidato que vê o número 1,1 na equação e não se lembra de que a correlação é limitada ao intervalo [-1, 1] pode marcar a alternativa como correta. A dica é: sempre verifique se o valor da correlação está dentro do intervalo permitido e lembre-se de que o coeficiente angular mede a variação em unidades da variável dependente, enquanto a correlação é adimensional.